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法律證明以下內容
如果\( \tan \mathrm{A}=\frac{3}{4} \)，則\( \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{12}{25} \)
已知
\( \tan \mathrm{A}=\frac{3}{4} \)
要求
我們需要證明\( \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{12}{25} \)。
解答
假設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 為直角，$\tan\ A=\frac{3}{4}$。
我們知道，
在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角函式的定義，
$sin\ \theta=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ \theta=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$sec\ \theta=\frac{斜邊}{鄰邊}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
這裡，
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (AC)^2=(4)^2+(3)^2$
$\Rightarrow AC^2=16+9$
$\Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$
因此，
$\sin\ A=\frac{BC}{AC}$
$=\frac{3}{5}$
$\cos\ A=\frac{AB}{AC}$
$=\frac{4}{5}$
因此，
$\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}$
$=\frac{3\times4}{5\times5}$
$=\frac{12}{25}$
證畢。
更新時間： 2022年10月10日
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