寫出5個形如 $3n+1$ 的自然數的立方（例如，4、7、10、……），並驗證以下結論
“形如 $3n + 1$ 的自然數的立方是一個相同形式的自然數，即被 3 除餘 1”。

已知

形如 $3n + 1$ 的自然數的立方是一個相同形式的自然數，即被 3 除餘 1。

要求

我們需要寫出5個形如 $3n+1$ 的自然數的立方（例如，4、7、10、……），並驗證給定的陳述。

解答：  

$3n + 1$

令 $n = 1, 2, 3, 4, 5$

這意味著，

如果 $n = 1$，則 $3n +1= 3(1)+1= 3+1= 4$

如果 $n = 2$，則 $3n +1=3(2)+1=6+1=7$

如果 $n = 3$，則 $3n + 1= 3(3) + 1= 9 + 1 = 10$

如果 $n = 4$，則 $3n + 1= 3(4)+1 = 12 + 1= 13$

如果 $n = 5$，則 $3n +1=3(5) + 1 = 15 +1 = 16$

因此，

$(4)^3=4\times4\times4=64$

$64=21\times3+1$

$(7)^3=7\times7\times7=343$

$343=114\times3+1$

$(10)^3=10\times10\times10=1000$

$1000=333\times3+1$

$(13)^3=13\times13\times13=2197$

$2197=732\times3+1$

$(16)^3=16\times16\times16=4096$

$4096=1365\times3+1$

$64, 343, 1000, 2197, 4096$ 被 3 除都餘 1。

因此，給定的陳述是正確的。

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更新於： 2022年10月10日

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