兩根管道同時執行可以填充一個水箱，耗時 $1\frac{7}{8}$ 小時。直徑較大的水龍頭單獨填充水箱所需時間比直徑較小的水龍頭少 2 小時。求每個水龍頭單獨填充水箱所需的時間。

已知

兩根管道同時執行可以填充一個水箱，耗時 $1\frac{7}{8}$ 小時。

直徑較大的水龍頭單獨填充水箱所需時間比直徑較小的水龍頭少 2 小時。

要求

我們必須找到每個水龍頭單獨填充水箱所需的時間。

解答

兩根水龍頭同時執行填充水箱所需時間 $=1\frac{7}{8}=\frac{1\times8+7}{8}=\frac{15}{8}$ 小時。

設直徑較大的水龍頭填充水箱所需時間為 $x$ 小時。

這意味著：

直徑較小的水龍頭填充水箱所需時間為 $x+2$ 小時。

直徑較大的水龍頭一小時內填充的水箱比例為 $\frac{1}{x}$。

直徑較小的水龍頭一小時內填充的水箱比例為 $\frac{1}{x+2}$。

兩個水龍頭一小時內填充的水箱比例為 $\frac{1}{\frac{15}{8}}=\frac{8}{15}$

因此：

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{15}$

$\frac{1(x+2)+1(x)}{(x+2)x}=\frac{8}{15}$

$\frac{x+2+x}{x^2+2x}=\frac{8}{15}$

$\frac{2x+2}{x^2+2x}=\frac{8}{15}$

$15(2)(x+1)=8(x^2+2x)$

$15x+15=4x^2+8x$

$4x^2+8x-15x-15=0$

$4x^2-7x-15=0$

用因式分解法解 $x$，得到：

$4x^2-12x+5x-15=0$

$4x(x-3)+5(x-3)=0$

$(x-3)(4x+5)=0$

$x-3=0$ 或 $4x+5=0$

$x=3$ 或 $4x=-5$

因此，$x=3$。($x$ 不能為負數)

$x+2=3+2=5$

直徑較大的水龍頭填充水箱所需時間為 3 小時，直徑較小的水龍頭填充水箱所需時間為 5 小時。

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更新於：2022年10月10日

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