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法律研究用十字相乘法解下列方程組
$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$
$x+y=2a^2$
已知
給定的方程組為
$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$
$x+y=2a^2$
要求：
這裡，我們要求解給定的方程組，方法是使用十字相乘法。
解：
給定的方程組可以寫成：
$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$
$x[\frac{(a-b)^2+ab}{a-b}]-y[\frac{(a+b)^2-ab}{a+b}]=0$
$x(\frac{a^2+b^2-2ab+ab}{a-b})-y(\frac{a^2+b^2+2ab-ab}{a+b})=0$
$x(\frac{a^2+b^2-ab}{a-b})-y(\frac{a^2+b^2+ab}{a+b})=0$.....(i)
$x+y-2a^2=0$....(ii)
線性方程組 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$（標準形式）的解由下式給出：
$\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-y}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$
將給定的方程與方程的標準形式進行比較，得到：
$a_1=(\frac{a^2+b^2-ab}{a-b}), b_1=-(\frac{a^2+b^2+ab}{a+b}), c_1=0$ 以及 $a_2=1, b_2=1, c_2=-2a^2$
因此，
$\frac{x}{(-2 a^{2})[-(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b})]-0 \times 1}=\frac{-y}{(-2 a^{2})(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b})-0 \times 1}=\frac{1}{\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}-[-\frac{(a^{2}+b^{2}+a b)}{a+b}]}$
$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{\left(2 a^{2}\right)\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}+\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}}$
$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{\left(2 a^{2}\right)\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{\frac{1}{(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)+(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}}{(a-b)(a+b)}$
$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{a^{3}+b^{3}+a^{3}-b^{3}}{(a-b)(a+b)}}$
$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{2a^3}{(a-b)(a+b)}}$
這意味著：
$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{1}{\frac{2a^3}{(a-b)(a+b)}}$
$x =\frac{2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{2 a^{3}}$
$x=\frac{(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}{a}$
$x=\frac{a^{3}-b^{3}}{a}$ [$\because a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)$]
$\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{2 a^{3}}{(a-b)(a+b)}}$
$y=\frac{2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)}{a-b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{2 a^{3}}$
$y=\frac{(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)}{a}$
$y=\frac{a^{3}+b^{3}}{a}$ [$\because a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$]
給定方程組的解為 $x=\frac{a^3-b^3}{a}$ 和 $y=\frac{a^3+b^3}{a}$。
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