證明點$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的頂點。求此菱形的面積。

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已知

給定的點為$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$。

要求

我們需要證明點$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的頂點，並求此菱形的面積。

解答

設四邊形為\( \mathrm{ABCD} \)，其頂點分別為\( \mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(-5,-5), \mathrm{C}(2,-3) \)和\( \mathrm{D}(4,4) \)。

我們知道，

兩點\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之間的距離為\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。

因此，

 \( AB=\sqrt{(-5+3)^{2}+(-5-2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-2)^{2}+(-7)^{2}} \)
\( \Rightarrow AB^{2}=(-2)^{2}+(-7)^{2} \)

\( =4+49 \)

\( =53 \)
類似地，

\( BC^{2}=(2+5)^{2}+(-3+5)^{2} \)
\( =(7)^{2}+(2)^{2} \)

\( =49+4 \)

\( =53 \)
\( CD^{2}=(4-2)^{2}+(4+3)^{2} \)
\( =(2)^{2}+(7)^{2} \)

\( =4+49 \)

\( =53 \)
\( DA^{2}=(-3-4)^{2}+(2-4)^{2} \)
\( =(-7)^{2}+(-2)^{2} \)

\( =49+4 \)

\( =53 \)

對角線\( \mathrm{AC}=\sqrt{(2+3)^{2}+(-3-2)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5)^{2}+(-5)^{2}} \)

\( =\sqrt{25+25} \)
\( =\sqrt{50} \)

\( =\sqrt{25 \times 2} \)

\( =5 \sqrt{2} \)
對角線\( \mathrm{BD}=\sqrt{(4+5)^{2}+(4+5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(9)^{2}+(9)^{2}} \)

\( =\sqrt{81+81} \)

\( =\sqrt{162} \)
\( =\sqrt{81 \times 2} \)

\( =9 \sqrt{2} \)

這裡，

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{53}$

邊長相等，但對角線不相等。
\( \therefore \mathrm{ABCD} \)是菱形。

我們知道，

菱形的面積\( =\frac{\text { 對角線乘積 }}{2} \)

\( =\frac{5 \sqrt{2} \times 9 \sqrt{2}}{2} \)
\( =\frac{90}{2} \)

\( =45 \)平方單位

菱形的面積為$45$平方單位。