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法律學證明按順序排列的點 (3, 0)、(4, 5)、(-1, 4) 和 (-2, -1) 構成一個菱形。並求出它的面積。
已知
已知點為 (3, 0)、(4, 5)、(-1, 4) 和 (-2, -1)。
待求
我們必須證明按順序排列的點 (3, 0)、(4, 5)、(-1, 4) 和 (-2, -1) 構成一個菱形，並求出它的面積。
解答
設 ABCD 為一個四邊形，其頂點為 A(3,0)、B(4,5)、C(-1,4) 和 D(-2,-1)。
我們知道：
兩點 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 之間的距離為 √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
因此：
AB = √[(4-3)²+(5-0)²]= √(1² + 5²)
兩邊平方，我們得到：
AB² = 1² + 5²
\( =1+25=26 \)
類似地：
BC² = (-1-4)² + (4-5)²
\( =(-5)^{2}+(-1)^{2} \)
\( =25+1 \)
\( =26 \)
CD² = (-2+1)² + (-1-4)²
\( =(-1)^{2}+(-5)^{2} \)
\( =1+25 \)
\( =26 \)
DA² = (3+2)² + (0+1)²
\( =(5)^{2}+(1)^{2} \)
\( =25+1 \)
\( =26 \)
AC² = (-1-3)² + (4-0)²
\( =(-4)^{2}+(4)^{2} \)
\( =16+16 \)
\( =32 \)
=> AC = √32 = 4√2
BD² = (-2-4)² + (-1-5)²
\( =(-6)^{2}+(-6)^{2} \)
\( =36+36 \)
\( =72 \)
=> BD = √72 = 6√2
這裡：
AB = BC = CD = DA = √26
邊長相等，但對角線不相等。因此 ABCD 是一個菱形。
我們知道：
菱形的面積 = 對角線乘積 / 2
= (4√2 × 6√2) / 2 = (24×2) / 2
= 24 平方單位
菱形的面積是 24 平方單位。
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