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法律研究如果存在，請命名由以下點形成的四邊形的型別，並說明理由。
(i) $(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)$
(ii) $(-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)$
(iii) $(4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)$
待辦事項
我們必須找到由給定點形成的四邊形（如果存在）。
解答
設給定點為 $A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2), D(-3, 0)$。
我們知道，
兩點 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之間的距離為 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。
因此，
$\mathrm{AB}=\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}}$
兩邊平方，得到 $\mathrm{AB}^{2}=(1+1)^{2}+(0+2)^{2}$
$=(2)^{2}+(2)^{2}$
$=4+4$
$=8$
$\mathrm{BC}^{2}=(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}$
$=(-2)^{2}+(2)^{2}$
$=4+4$
$=8$
$\mathrm{CD}^{2}=(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}$
$=(-2)^{2}+(-2)^{2}$
$=4+4$
$=8$
$\mathrm{DA}^{2}=(-1+3)^{2}+(-2+0)^{2}$
$=(2)^{2}+(-2)^{2}$
$=4+4$
$=8$
$\mathrm{AC}^{2}=(-1+1)^{2}+(2+2)^{2}$
$=(0)^{2}+(4)^{2}$
$=0+16$
$=16$
$\mathrm{BD}^{2}=(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}$
$=(-4)^{2}+0$
$=16$
這裡，
$AB^2=BC^2=CD^2=DA^2$ 且 $AC^2=BD^2$
這意味著，
$AB=BC=CD=DA$ 且 $AC=BD$。
所有邊都相等，對角線也相等。
因此，由點 $A, B, C, D$ 形成的四邊形是正方形。
(ii) 設給定點為 $A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), D (-1, -4)$。
我們知道，
兩點 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之間的距離為 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。
因此，
$\mathrm{AB}=\sqrt{(3+3)^{2}+(1-5)^{2}}$
兩邊平方，得到，
$\mathrm{AB}^{2}=(3+3)^{2}+(1-5)^{2}$
$=(6)^{2}+(-4)^{2}$
$=36+16$
$=52$
$\mathrm{BC}^{2}=(0-3)^{2}+(3-1)^{2}$
$=(-3)^{2}+(2)^{2}$
$=9+4$
$=13$
$\mathrm{CD}^{2}=(-1-0)^{2}+(-4-3)^{2}$
$=(-1)^{2}+(-7)^{2}$
$=1+49$
$=50$
$\mathrm{DA}^{2}=(-3+1)^{2}+(5+4)^{2}$
$=(-2)^{2}+(9)^{2}$
$=4+81$
$=85$
$\mathrm{AC}^{2}=(0+3)^{2}+(3-5)^{2}$
$=(3)^{2}+ (-2)^{2}$
$=9+4$
$=13$
在 $\Delta \mathrm{ABC}$ 中，
$\mathrm{AB}=\sqrt{52}, \mathrm{AC}=\sqrt{13}, \mathrm{BC}=\sqrt{13}$
$\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\sqrt{13}+\sqrt{13}=2 \sqrt{13}$
$\mathrm{AB}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
$\Rightarrow \mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\mathrm{AB}$
這意味著，點 $A, B ,C$ 共線。
因此，$\Delta \mathrm{ABC}$ 不可能存在。
因此，$\mathrm{ABCD}$ 不是四邊形。
(iii) 設給定點為 $A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)$。
我們知道，
兩點 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之間的距離為 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。
因此，
$\mathrm{AB}=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}$
兩邊平方，得到，
$\mathrm{AB}^{2}=(7-4)^{2}+(6-5)^{2}$
$=(3)^{2}+(1)^{2}$
$=9+1$
$=10$
$B C^{2}=(4-7)^{2}+(3-6)^{2}$
$=(3)^{2}+(-3)^{2}$
$=9+9$
$=18$
$\mathrm{CD}^{2}=(1-4)^{2}+(2-3)^{2}$
$=(-3)^{2}+(-1)^{2}$
$=9+1$
$=10$
$\mathrm{DA}^{2}=(4-1)^{2}+(5-2)^{2}$
$=(3)^{2}+(3)^{2}$
$=9+9$
$=18$
$\mathrm{AC}^{2}=(4-4)^{2}+(3-5)^{2}$
$=(0)^{2}+(-2)^{2}$
$=0+4$
$=4$
$\mathrm{BD}^{2}=(1-7)^{2}+(2-6)^{2}$
$=(-6)^{2}+(-4)^{2}$
$=36+16$
$=52$
這裡，
$AB^2=CD^2$, $BC^2=DA^2$ 且 $AC^2≠BD^2$
這意味著，
$A B=C D, B C=D A$ 且 $AC≠BD$
對邊相等，對角線不相等。
因此，由點 $A, B, C, D$ 形成的四邊形是平行四邊形。
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