證明以下等式：$\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA} =1+tanA+cotA$

已知： $\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA} =1+tanA+cotA$

要求：證明左邊$=$右邊。

左邊$=\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA}$

$=\frac{tanA}{1-\frac{1}{tanA}} +\frac{cotA}{1-tanA}$                                                  $( 因為已知cotA=\frac{1}{tanA})$

$=\frac{-tan^{2} A}{1-tanA} +\frac{cotA}{1-tanA}$

$=\frac{1}{1-tanA}\left( -tan^{2} A+\frac{1}{tanA}\right)$

$=\frac{1-tan^{3} A}{tanA( 1-tanA)}$

$=\frac{( 1-tanA)\left( 1+tan^{2} A+tanA\right)}{tanA( 1-tanA)}$

$=\frac{\left( 1+tan^{2} A+tanA\right)}{tanA}$

$=\frac{1}{tanA} +\frac{tan^{2} A}{tanA} +\frac{tanA}{tanA}$

$=cotA+tanA+1$                                                              $( \because cotA=\frac{1}{tanA} )$

$=$右邊。

因此得證。