當 $a$ 取何值時，點 $(a, 1), (1, -1)$ 和 $(11, 4)$ 共線？
已知
點 $(a, 1), (1, -1)$ 和 $(11, 4)$ 共線。
要求
我們需要求出 $a$ 的值。
解答
設 $A(a, 1), B(1, -1)$ 和 $C(11, 4)$ 是 $\triangle ABC$ 的頂點。
我們知道，
如果點 $A, B$ 和 $C$ 共線，則 $\triangle ABC$ 的面積為零。
頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由以下公式給出：
三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形 \( ABC\) 的面積 \(=\frac{1}{2}[a(-1-4)+1(4-1)+11(1+1)] \)
\( 0=\frac{1}{2}[a(-5)+1(3)+11(2)] \)
\( 0(2)=(-5a+3+22) \)
\( 0=-5a+25 \)
\( 5a=25 \)
\( a=\frac{25}{5} \)
\( a=5 \)
$a$ 的值為 $5$。
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