證明如果$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，則點$(a, 0), (0, b)$和$(1, 1)$共線。

已知

已知點為$(a, 0), (0, b)$和$(1, 1)$。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$。

要求

我們必須證明給定的點是共線的。

解答

設$A(a, 0), B(0, b)$和$C(1, 1)$為$\triangle ABC$的頂點。

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

$\Rightarrow \frac{b+a}{ab}=1$

$\Rightarrow a+b=ab$

$\Rightarrow ab-a-b=0$.......(i)

我們知道，

頂點為$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面積由下式給出： 

三角形面積$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形\( ABC\)的面積\(=\frac{1}{2}[a(b-1)+0(1-0)+1(0-b)] \)

\( =\frac{1}{2}[ab-a-b] \)

\( =0\)   (由(i)式)

因此，點$A, B$和$C$共線。

因此，證畢。

證畢。 

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更新於：2022年10月10日

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