證明\( \frac{a+b+c}{a^{-1} b^{-1}+b^{-1} c^{-1}+c^{-1} a^{-1}}=a b c \)
已知
\( \frac{a+b+c}{a^{-1} b^{-1}+b^{-1} c^{-1}+c^{-1} a^{-1}}=a b c \)
要求
我們必須證明\( \frac{a+b+c}{a^{-1} b^{-1}+b^{-1} c^{-1}+c^{-1} a^{-1}}=a b c \).
解答
我們知道：
$(a^{m})^{n}=a^{m n}$
$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$
$a^{0}=1$
左邊 = \(\frac{a+b+c}{a^{-1} b^{-1}+b^{-1} c^{-1}+c^{-1} a^{-1}}\)
\(=\frac{a+b+c}{\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}}\)
\(=\frac{a+b+c}{\frac{c+a+b}{a b c}}\)
\(=\frac{(a+b+c) a b c}{(a+b+c)}\)
\(=a b c\)
\(= 右邊\)
證畢。
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