求 m 的值，使得二次方程 $mx( x-7) +49=0$ 有兩個相等的根。

已知：方程 $mx( x-7) +49=0$。

 

要求：找出使給定方程有兩個相等根的 m 的值。

這裡給定的方程是 $mx( x-7) +49=0$

$\Rightarrow mx^{2} -7mx+49=0$

將它與二次方程 $ax^{2} +bx+c=0$ 進行比較

這裡我們發現 $a=m,\ b=-7m\ 和\ c=49$

為了使二次方程有兩個相等的根，其判別式 D$=0$

或 $\sqrt{\left( b^{2} -4ac\right)} \ =0$

代入 $\ a,\ b\ 和\ c$ 的值

$\sqrt{\left(( -7m)^{2} -4\times m\times 49\right)} =0$

$\Rightarrow \sqrt{\left( 49m^{2} -196m\right)} =0$

$\Rightarrow 49m^{2} -196m=0$

或 $49\left( m^{2} -4m\right) =0$

$m^{2} -4m=0$

$\Rightarrow m( m-4) =0$

要麼 $m=0\ 或\ m-4=0$ 或 $m=4$

$\therefore m=0,\ 4$