求所有三位數自然數中，11的倍數的和。

已知

能被11整除的三位數自然數。

要求

求所有能被11整除的三位數自然數的和。

解答

能被11整除的三位數是 \( 110,121,132,143, \ldots 990 \)
這裡：

首項 \( (a)=110 \)
公差 \( (d)=121-110=11 \)

末項 \( (l)=990 \)

設項數為 \( n \)

我們知道：

$a_{n}=a+(n-1) d$
$\Rightarrow 990=110+(n-1) \times 11$
$\Rightarrow 990=110+11 n-11$
$\Rightarrow 11 n=990-99=891$

$n=\frac{891}{11}=81$
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=\frac{81}{2}[2 \times 110+(81-1) \times 11]$
\( =\frac{81}{2}[220+80 \times 11] \)
\( =\frac{81}{2}[220+880] \)
\( =\frac{81}{2} \times 1100 \)

\( =81 \times 550=44550 \)

所有能被11整除的三位數自然數的和是 $44550$。

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更新於：2022年10月10日

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