確定以下哪個多項式具有\( (x+1) \)作為因子
(i) \( x^{3}+x^{2}+x+1 \)
(ii) \( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \)

已知

給定的項是$(x + 1)$。

給定的多項式是

(i) \( x^{3}+x^{2}+x+1 \)
(ii) \( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \)

求

我們必須檢查給定的多項式是否具有$(x + 1)$作為因子。

解

根據因式定理，

如果$(x+1)$是給定多項式$P(x)$的因子，則當$x= -1$時，$p(x)=0$。

 (i) $x^{3}+x^{2}+x+1$

 設$p(x)= x^{3}+x^{2}+x+1$

將$x= -1$代入

$p(−1)=(−1)^3+(−1)^2+(−1)+1 =−1+1−1+1=0$

因此，根據因式定理，$x+1$是$x^{3}+x^{2}+x+1$的因子。 

(ii) $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $

 設$p(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 $

將$x= -1$代入

$p(−1)=(−1)^4+(-1)^3+(−1)^2+(−1)+1 =1−1+1−1+1=1$

因此，根據因式定理，$x+1$不是$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$的因子。 

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更新於: 2022年10月10日

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