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法學一個牛奶容器是用金屬板製成的，形狀為圓臺，體積為 \( 10459 \frac{3}{7} \mathrm{~cm}^{3} \)。其下底和上底圓的半徑分別為 \( 8 \mathrm{~cm} \) 和 \( 20 \mathrm{~cm} \)。求製作該容器所用金屬板的成本，每平方釐米的價格為 \( 1.40 \) 盧比。(使用 \( \pi=22.7 \) )
已知
一個牛奶容器是用金屬板製成的，形狀為圓臺，體積為 \( 10459 \frac{3}{7} \mathrm{~cm}^{3} \)。
其下底和上底圓的半徑分別為 \( 8 \mathrm{~cm} \) 和 \( 20 \mathrm{~cm} \)。
要求
我們需要求製作該容器所用金屬板的成本，每平方釐米的價格為 \( 1.40 \) 盧比。
解答
圓臺的體積 $= 10459\frac{3}{7}\ cm^3$
$=\frac{73216}{7}\ cm^3$
圓臺下底半徑 $r_2 = 8\ cm$
圓臺上底半徑 $r_1 = 20\ cm$
設 $h$ 為圓臺的高度。
因此，
體積 $=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}] \times h$
$\frac{73216}{7}=\frac{22}{7 \times 3}[20^{2}+20 \times 8+8^{2}] \times h$
$\frac{73216}{7}=\frac{22}{21}[400+160+64] h$
$\frac{73216}{7}=\frac{22}{21} \times 624 h$
$h=\frac{73216}{7} \times \frac{21}{22 \times 624}$
$h=16$
圓臺的斜高 $l=\sqrt{h^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}$
$=\sqrt{(16)^{2}+(20-8)^{2}}$
$=\sqrt{16^{2}+12^{2}}$
$=\sqrt{256+144}$
$=\sqrt{400}$
$=20 \mathrm{~cm}$
這意味著，
所用金屬板面積 $=\pi (R+r)l + \pi r^{2}+\pi R^{2}$ (這裡公式可能需要修正，應該是側面積+上下底面積)
$=\frac{22}{7} \times 20(20+8) + \frac{22}{7} \times 8^2 + \frac{22}{7} \times 20^2$ (計算側面積可能用錯了公式)
$=\frac{22}{7} \times 560+\frac{22}{7} \times 64+\frac{22}{7} \times 400$
$=\frac{22}{7} \times 1024$
$=3218.28 \mathrm{~cm}^2$ (這個結果可能因為公式錯誤而有誤差)
金屬板價格 $=1.40$ 盧比/平方釐米
金屬板總成本 $= 3218.28 \times 1.40$ 盧比
$=4505.59$ 盧比
製作該容器所用金屬板的成本為4505.59盧比。
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