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法律研究平行四邊形 $ABCD$ 的三個頂點為 $A (6, 1), B (8, 2)$ 和 $C (9, 4)$。如果 $E$ 是 $DC$ 的中點，求 $\triangle ADE$ 的面積。
已知
$A (6, 1), B (8, 2)$ 和 $C (9, 4)$ 是平行四邊形 $ABCD$ 的三個頂點。
$E$ 是 $DC$ 的中點。
要求
我們需要求 $\triangle ADE$ 的面積。
解
設平行四邊形的第四個頂點為 (x, y)。
我們知道，平行四邊形的對角線互相平分。
連線點 \( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 的線段的中點座標為 \((\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}) \)
線段 \( \mathrm{BD} \) 的中點 = 線段 \( \mathrm{AC} \) 的中點
\( \Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}) \)
\( =(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}) \)
\( \Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2})=(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}) \)
比較可得：
\( \frac{8+x}{2}=\frac{15}{2} \)
\( \Rightarrow 8+x=15 \)
\( \Rightarrow x=15-8=7 \)
\( \frac{2+y}{2}=\frac{5}{2} \)
\( \Rightarrow 2+y=5 \)
\( \Rightarrow y=5-2=3 \)
平行四邊形的第四個頂點是 \( \mathrm{D}(7,3) \)。
邊 \( \mathrm{DC} \) 的中點座標為 \((\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2}) \)
\( E=(8, \frac{7}{2}) \)
頂點為 $(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2})$ 和 $(x_{3}, y_{3})$ 的 \( \Delta \mathrm{ABC} \) 的面積為 $\frac{1}{2}[x_{1}(y_2-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$。
這意味著：
頂點為 \( \mathrm{A}(6,1), \mathrm{D}(7,3) \) 和 \( \mathrm{E} (8, \frac{7}{2}) \) 的 \( \Delta \mathrm{ADE} \) 的面積
\( =\frac{1}{2}[6(3-{7}{2})+7(\frac{7}{2}-1)+8(1-3)] \)
\( =\frac{1}{2}[6 \times(\frac{-1}{2})+7(\frac{5}{2})+8(-2)] \)
\( =\frac{1}{2}(-3+\frac{35}{2}-16) \)
\( =\frac{1}{2}(\frac{35}{2}-19) \)
\( =\frac{1}{2}(\frac{-3}{2}) \)
\( =\frac{-3}{4} \)
面積不能為負。
因此，\( \Delta \mathrm{ADE} \) 的面積為 \( \frac{3}{4} \) 平方單位。
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