Python 中的割線法建模

割線法是用於求解多項式或任何超越函式的 x 截距（零點）的強大方法之一。在這種方法中，我們首先選擇（基本上是猜測）我們期望根所在的區間（$\mathrm{𝑥_{1}}$，$\mathrm{𝑥_{2}}$）。然後，我們繪製一條割線以連線對應於猜測值的函式上的點（A，B），如下圖所示。

割線與 x 軸相交於點 $\mathrm{𝑥_{3}}$，由於 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 和 $\mathrm{𝑥_{2}}$ 不接近（即它們的絕對差是有限的），我們找到對應於 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 曲線上的點，即 C。然後，我們考慮點 B 和 C 連線一條割線。我們將這條線延伸到到達 X 軸，並將該點標記為 $\mathrm{𝑥_{4}}$。

現在，我們再次檢查 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 和 $\mathrm{𝑥_{4}}$ 是否接近。由於它們也不接近，因此我們找到對應於 $\mathrm{𝑥_{4}}$ 的多項式的值，並在曲線上將其標記為 D。下圖表示第二條割線和點 D。

然後，我們再次在 C 和 D 之間繪製一條割線，直到“x”的下一個值和前一個值的距離收斂到一個非常小的值。因此，我們可以說該方法依次找到多項式的根，即它可以被認為是根的順序搜尋。這種方法的優點在於，x 是否位於根的一側或圍繞根並不重要。該方法透過上述解釋的順序搜尋逐漸收斂到根。

現在，任務是根據前兩個 x 來評估下一個 x。如果我們考慮第一條割線，那麼透過它們（以評估 $\mathrm{𝑥_{3}}$）的直線方程如下：

$$\mathrm{x_{3}=x_{1}-y_{1}\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$$

而如果我們考慮第二條割線，則用於評估的直線方程如下：

$$\mathrm{x_{4}=x_{2}-y_{2}\frac{x_{3}-x_{2}}{y_{3}-y_{2}}}$$

因此，上述方程的廣義版本如下：

$$\mathrm{x_{i}=x_{i-2}-y_{i-2}\frac{x_{i-1}-x_{i-2}}{y_{i-1}-y_{i-2}}}$$

Python 中的割線法實現

可以使用以下演算法對割線法進行建模：

首先需要定義需要求根的函式 f(x)
選擇兩個任意 x 值，即 ($\mathrm{𝑥_{1}}$，$\mathrm{𝑥_{2}}$)
使用以下公式評估 x 的新值 $$\mathrm{x_{n}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}}$$
如果 x 的新值和前一個值接近，則得到答案，即如果 $|x_{n_{}}-x2|<10^{-5}$，則 $𝑥_{𝑛}$ 是根。注意，我們取收斂準則為 $10^{-5}$，但您可以根據您的需要進行設定。
如果 $|x_{n_{}}-x2|>10^{-5}$，則設定：$𝑥_{1}$=$𝑥_{2}$ 和 $𝑥_{2}$=$𝑥_{𝑛}$
然後再次從評估新 x 的步驟開始。

然後再次從評估新 x 的步驟開始。

假設我們想要找到方程：$𝑥^{2}$+3𝑥−10=0 的根。讓我們選擇初始值為 ($𝑥_{1}$=−4,$𝑥_{2}$= 3)。然後執行割線法的 Python 程式如下：

# Importing module
from pylab import *

# Defining Polynomial function
def f(x):
   return x ** 2 + 3 * x - 10

# Defining function for new value of x
def fn(a, b):
   return a - ((b - a) / (f(b) - f(a))) * f(a)

# Creating array of x
x = linspace(-15, 15, 150)

# Plotting the function
figure(1, figsize=(7.20, 3.50))
plot(x, f(x), linewidth=2)
plot([-25, 25], [0, 0], "k--")
ylim(-15, 20)
xlim(-8, 6)

# Initial guess Interval
x1 = -4
x2 = 3

# Initial Error to enter into the loop
error = 1

# Setting iteration counter
count = 1

# Integration starts
while error > 1.E-3:

   # Plotting Secant line
   plot([x1, x2], [f(x1), f(x2)])

   # Evaluating new value of x based on old
   xn = fn(x1, x2)

   # Plotting x intercept of secant
   plot([xn], [0], 'o', label=f'{xn}')

   # Evaluating error
   error = abs(x2 - xn)

   # Setting x's for next iteration
   x1 = x2
   x2 = xn

   # Incrementing loop counter
   count += 1

   # Printing selected value of xn in the legend
   if count < 6:
      legend()

# Showing root in the figure (just decoration)
text(-7, -10, f'Root = {round(xn, 3)}', bbox={'facecolor': 'red', 'alpha': 0.5, 'pad': 10})
print(f'Root = {round(xn, 3)}')
show()

上述程式碼清楚地說明了本節開頭提到的所有步驟。上述程式的輸出將如以下圖所示。