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法律研究Python 中的斯特林迴圈和埃裡克森迴圈建模
斯特林迴圈
斯特林迴圈由四個過程組成——兩個可逆等容過程和兩個可逆等溫過程。在相同的溫度範圍內，理想的再生斯特林迴圈的效率等同於卡諾迴圈。整個迴圈中都會發生熱量交換，而功交換僅發生在過程 1-2 和 3-4 中。
下圖顯示了該迴圈的示意圖。
在對迴圈進行建模時，考慮的輸入變數包括最大壓力 $\mathrm{(p_{max})}$、最小壓力 $\mathrm{(p_{min})}$、最大體積 $\mathrm{(v_{max})}$、壓縮比 (r) 和絕熱指數 $\mathrm{(\gamma)}$。以下列出了斯特林迴圈各個階段中涉及的多個過程的熱力學計算 -
過程 1-2
$$\mathrm{p_{1} \: = \: p_{min}}$$
$$\mathrm{v_{1} \: = \: v_{max}}$$
首先，將根據點 1 處的體積使用壓縮比 (r) 計算點 2 處的體積，如下所示 -
$$\mathrm{v_{2} \: = \: \frac{v_{1}}{r}}$$
然後，計算過程 1-2 沿線的等溫常數，如下所示 -
$$\mathrm{c_{1} \: = \: p_{1} \: \times \: v_{1}}$$
可以計算點 2 處的壓力，如下所示 -
$$\mathrm{p_{2} \: = \: \frac{c_{1}}{v_{2}}}$$
一旦已知 $\mathrm{c_{1}}$，則計算沿線 1-2 的壓力變化，如下所示 -
$$\mathrm{p \: = \: \frac{c_{1}}{v}}$$
過程 2-3
$$\mathrm{p_{3} \: = \: p_{max}}$$
由於該過程是等容的，因此體積保持不變，因此 -
$$\mathrm{v_{3} \: = \: v_{2}}$$
因此，可以輕鬆計算 2 和 3 之間的壓力變化。
過程 3-4
設 $\mathrm{c_{2}}$ 為沿線 3-4 的常數。由於已知壓力和溫度點 3，因此可以計算等溫線沿線的常數，如下所示 -
$$\mathrm{c_{2} \: = \: p_{3} \: \times \: v_{3}}$$
並且由於 $\mathrm{v_{4} \: = \: v_{1}}$，因此可以計算點 4 處的壓力，如下所示 -
$$\mathrm{p_{4} \: = \: \frac{c_{2}}{v_{4}}}$$
因此，可以計算沿線 3-4 的壓力變化，如下所示 -
$$\mathrm{p \: = \: \frac{c_{2}}{v}}$$
過程 4-1
由於 $\mathrm{p_{1}}$ 和 $\mathrm{p_{4}}$ 已知，因此可以輕鬆計算 $\mathrm{v_{4} \: =}$ 常數線的壓力變化。
斯特林迴圈的 Python 程式
斯特林迴圈的 Python 函式如下所示 -
示例
from pylab import*
from pandas import*
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Stirling Cycle
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
def stirling(p_min,p_max,v_max,r,gma):
font = {'family' : 'Times New Roman','size' : 40}
figure(figsize=(20,15))
rc('font', **font)
'''This function prints Stirling cycle
arguments are as follows:
p_min: minimum pressure
p_max: Maximum pressure
v_max: Maximum volume
r: compression ratio
gma: Adiabatic exponent
The order of arguments is:
p_min,p_max,v_max,r,gma
'''
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 1-2
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p1=p_min
v1=v_max
c1=p1*v1
v2=v1/r
p2=c1/v2
v=linspace(v2,v1)
p=c1/v
plot(v,p/1000,'r',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 2-3
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p3=p_max
v3=v2
v=zeros(100)+v3
p=linspace(p2,p3,100)
plot(v,p/1000,'b',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 3-4
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
c2=p3*v3
v4=v1
p4=c2/v4
v=linspace(v3,v4,100)
p=c2/v
plot(v,p/1000,'g',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 4-1
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p=linspace(p1,p4,100)
v=zeros(100)+v1
plot(v,p/1000,'m',linewidth=2)
title('Stirling Cycle',size='xx-large',color='k')
xlabel('Volume (m$^3$)')
ylabel('Pressure (kPa)')
#axis([0.01,v4+0.01,p_min/1000-100,p_max/1000+100])
#grid(linestyle='--',color='k')
text(v1,p1/1000-80,'1')
text(v2-0.01,p2/1000,'2')
text(v3-0.01,p3/1000-20,'3')
text(v4,p4/1000+30,'4')
data={'p':[p1,p2,p3,p4],
'v':[v1,v2,v3,v4],
'c':[c1,'' ,c2,"" ],
'State': [1,2,3,4]}
df=DataFrame(data)
savefig('stirling_final.jpg')
return df.set_index('State')
sc=stirling(10**5,20*10**5,0.5,5,1.4)
show()
輸出
對於 $\mathrm{p_{min} \: = \: 10^{5} \: Pa \:, \: p_{max} \: = \: 20 \: \times \: 10^{5} \: Pa \:, \: v_{max} \: = \: 0.5 \: m^{3} \:, \: r \: = \: 5 \: and \: y \: = \: 1.4}$，程式的結果如下所示 -
埃裡克森迴圈
埃裡克森迴圈由兩個可逆等壓過程和兩個可逆等溫過程組成。在相同的溫度範圍內，理想的再生埃裡克森迴圈的效率與卡諾迴圈相同。該迴圈中的所有過程都與熱量和功相互作用。下圖顯示了該迴圈的示意圖。
在對迴圈進行建模時，考慮的輸入變數包括最大壓力 $\mathrm{(p_{max})}$、最小壓力 $\mathrm{(p_{min})}$、最大體積 $\mathrm{(v_{max})}$、恆壓排熱過程中的壓縮比 (r) 和絕熱指數 $\mathrm{(\gamma)}$。下面描述了埃裡克森迴圈中各個過程的熱力學計算 -
過程 1-2
$$\mathrm{p_{1} \: = \: p_{min}}$$
$$\mathrm{p_{2} \: = \: p_{1}}$$
$$\mathrm{v_{1} \: = \: v_{max}}$$
首先將根據點 1 處的體積使用壓縮比 (r) 計算點 2 處的體積，如下所示 -
$$\mathrm{v_{2} \: = \: \frac{v_{1}}{r}}$$
由於 1-2 是等壓過程，並且已知極端體積，因此可以輕鬆計算壓力變化。
過程 2-3
可以計算等溫線 2-3 沿線的常數 $\mathrm{c_{1}}$，如下所示 -
$$\mathrm{c_{1} \: = \: p_{2} \: \times \: v_{2}}$$
由於 $\mathrm{p_{3} \: = \: p_{max}}$，因此可以計算點 3 處的體積，如下所示 -
$$\mathrm{v_{3} \: = \: \frac{c_{1}}{p_{3}}}$$
可以計算壓力變化，如下所示 -
$$\mathrm{p \: = \: \frac{c_{1}}{v}}$$
過程 3-4
$$\mathrm{p_{4} \: = \: p_{3}}$$
設 $\mathrm{c_{2}}$ 為沿線 4-1 的常數。由於已知點 1 處的壓力和體積，因此可以計算等溫線 4-1 沿線的常數，如下所示 -
$$\mathrm{c_{2} \: = \: p_{1} \: \times \: v_{1}}$$
因此，可以計算點 4 處的體積，如下所示 -
$$\mathrm{v_{4} \: = \: \frac{c_{2}}{p_{4}}}$$
由於已知末端體積，因此可以輕鬆計算壓力變化。
過程 4-1
由於 $\mathrm{v_{1}}$ 和 $\mathrm{v_{4}}$ 已知，並且常數 $\mathrm{c_{2}}$ 也已知，因此可以計算壓力變化，如下所示 -
$$\mathrm{p \: = \: \frac{c_{2}}{v}}$$
埃裡克森迴圈的 Python 程式
用於模擬埃裡克森迴圈的 Python 函式如下所示 -
示例
from pylab import*
from pandas import*
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Ericsson Cycle
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
def ericsson(p_min,p_max,v_max,r,gma):
font = {'family' : 'Times New Roman','size' : 39}
figure(figsize=(20,15))
rc('font', **font)
'''This function prints Ericsson cycle
arguments are as follows:
p_min: minimum pressure
p_max: Maximum pressure
v_max: Maximum volume
r: compression ratio
gma: Adiabatic exponent
The order of arguments is:
p_min,p_max,v_max,r,gma
'''
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 1-2
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p1=p_min
p2=p1
v1=v_max
v2=v1/r
p=zeros(100)+p2
v=linspace(v2,v1,100)
plot(v,p/1000,'r',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 2-3
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
c1=p2*v2
p3=p_max
v3=c1/p3
v=linspace(v3,v2,100)
p=c1/v
plot(v,p/1000,'b',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 3-4
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
p4=p3
c2=p1*v1
v4=c2/p4
p=zeros(100)+p4
v=linspace(v3,v4,100)
plot(v,p/1000,'g',linewidth=2)
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Process 4-1
#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
v=linspace(v4,v1,100)
p=c2/v
plot(v,p/1000,'m',linewidth=2)
title('Ericsson Cycle',size='xx-large',color='k')
xlabel('Volume (m$^3$)')
ylabel('Pressure (kPa)')
+
# axis([0.0,v1+0.01,p_min/1000-100,p_max/1000+100])
# grid(linestyle='--',color='k')
text(v1,p1/1000-80,'1')
text(v2,p2/1000-80,'2')
text(v3-0.015,p3/1000-20,'3')
text(v4+0.01,p4/1000-20,'4')
data={'p':[p1,p2,p3,p4],
'v':[v1,v2,v3,v4],
'c':[c1,'' ,c2,"" ],
'State': [1,2,3,4]}
df=DataFrame(data)
savefig('Ericsson_final.jpg')
return df.set_index('State')
erc=ericsson(2*10**5,20*10**5,0.5,5,1.4)
show()
erc
輸出
對於 $\mathrm{p_{min} \: = \: 2 \: \times \: 10^{5} \: Pa \:, \: p_{max} \: = \: 20 \: \times \: 10^{5} \: Pa \:, \: v_{max} \: = \: 0.5 \: m^{3} \:, \: r \: = \: 5 \: and \: \gamma \: = \: 1.4}$，從程式碼中獲得的結果如下圖所示 -
此外，不同點沿迴圈的壓力和體積如下表所示 -
狀態 |
p |
v |
|---|---|---|
1 |
200000 |
0.50 |
2 |
200000 |
0.10 |
3 |
2000000 |
0.01 |
4 |
2000000 |
0.05 |
結論
在本教程中，使用 Python 對埃裡克森迴圈和斯特林迴圈進行了建模。提到了詳細的演算法和程式設計步驟，以開發這些迴圈的函式。
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