LCR 串聯電路 - 微分方程與解析解

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引言

LCR 串聯電路有很多應用。在電子學中，元件可以分為兩大類：有源元件和無源元件。電阻器、電容器和電感器是一些無源元件。這些元件的組合構成了 RC、RL、LR、LC 和 LCR 電路。RC 電路由電阻器和電容器組成。RL 電路包括電阻器和電感器。在 LR 電路中，電感器和電阻器連線在一起。此外，LC 電路由電感器和電容器組成。LCR 是 L（電感）、C（電容）和 R（電阻）的縮寫。LCR 電路由電感器、電容器和電阻器組成。它也可以稱為 RLC 電路。

R、L 和 C 在電路中的作用

• 電阻器 - 在電路中，電阻器用 R 表示。通常，能量以熱的形式衰減。對於流過它的恆定電流，將存在恆定的電壓降。

• 電感器 - 電感器用 L 表示。能量以磁場的形式儲存。它會阻止電流的變化。它由線圈繞組線組成。

• 電容器 - 電容器用 C 表示。它類似於電感器。它以電場的形式儲存能量。它也阻止電流變化。

什麼是 LCR 電路？

LCR 電路是由電感器、電容器和電阻器串聯或並聯連線而成的電路。在串聯 LCR 電路中，電阻器、電感器和電容器與輸入源串聯。輸入源 Vs 是所有三個元件（即電阻器、電容器和電感器）的相量和。電流對於所有三個元件都是相同的。

串聯 LCR 電路的阻抗

考慮電阻 R、電感 L 和電容 C 上的電壓幅度分別為 𝑽_𝑹、𝑽_𝑳 和 𝑽_𝑪。

因為，𝑉_𝑹 = 𝑖𝑅

其中 i 是電流，R 是電阻

$$\mathrm{V_L=iX_L=i\omega L}$$

其中 X_L 是感抗，ω 是角頻率，L 是電感 $\mathrm{V_C=iX_C=i(\frac{1}{\omega C})}$

其中 X_C 是容抗，C 是電容

$$\mathrm{We\: have\: V^2=V_R^2+(V_L-V_C )^2}$$

代入後得到：

$$\mathrm{V^2=(iR)^2+(iX_L-iX_C )^2}$$

$$\mathrm{V^2=i^2 (R^2+(X_L-X_C )^2 )}$$

則電流：

$$\mathrm{ i=\frac{v}{\sqrt{(R^2+(X_L-X_C )^2)}}=\frac{v}{Z}}$$

其中 Z 是阻抗

$$\mathrm{Z=\sqrt{(R^2+(X_L-X_C )^2)}}$$

代入感抗和容抗的值：

LCR 電路的阻抗 (Z)：

$$\mathrm{Z=\sqrt{R^2+\lbrace \omega L-\frac{1}{\omega C}\rbrace^2}}$$

LCR 電路推導、LCR 電路的諧振和解析解

假設電阻器、電感器和電容器與輸入源串聯。交流輸入由下式給出：

$$\mathrm{v=v_m sin\omega t}$$

其中 ω 是角頻率，v_m 是輸入源的幅度，“t”是時間

使用基爾霍夫定律：

$$\mathrm{L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+iR+\frac{q}{C}=v …. (1)}$$

其中 L 是電感，i 是電流，R 是電阻，q 是電荷，C 是電容 分析電路：

$$\mathrm{i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}……………… … (2)}$$

對式 (2) 求導，我們有

$$\mathrm{\frac{\text{d}i}{\text{d}t}=\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2} …. (3) }$$

將式 (2) 和 (3) 代入式 (1)：

$$\mathrm{L \frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+q/C=v_m sin\omega t …. (4)}$$

對於阻尼振盪器方程，上述方程是類似的。

$$\mathrm{q=q_m sin(\omega t+ θ)}$$

$$\mathrm{\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=q_m \omega cos(\omega t+ θ)}$$

$$\mathrm{\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t2}=-q_m \omega ^2 sin(\omega t+ θ)}$$

將上述方程代入電壓方程：

$$\mathrm{q_m \omega [Rcos(\omega t+ θ)+(X_C-X_L )sin(\omega t+ θ)]=v_m sin\omega t}$$

我們知道容抗 $\mathrm{X_C=\frac{1}{\omega C}}$ 和感抗 $\mathrm{X_L=\omega L}$

此外，LCR 電路的阻抗 (Z)：

$$\mathrm{ Z=\sqrt{(R^2+(X_L-X_C )^2 )}}$$

代入後得到值：

$$\mathrm{\frac{q_m \omega}{Z} [\frac{R}{Z} cos(\omega t+ θ)+(\frac{(X_C-X_L)}{Z})sin(\omega t+ θ)]}$$

求解 θ 和 ϕ 的方程，得到 LCR 電路中電流的方程：

$$\mathrm{i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=q_m \omega cos(\omega t+ θ)=i_m \omega cos(\omega t+ θ)}$$

$$\mathrm{i=i_m sin(\omega t+ ϕ) }$$

電諧振 -

諧振的過程在具有在特定頻率下振盪趨勢的不同系統中非常常見。此頻率稱為系統的固有振盪頻率。在 LCR 系統中，此頻率由電感、電容和電阻的值決定。

結論

在電子學中，元件可以分為兩大類：有源元件和無源元件。電阻器、電容器和電感器是一些無源元件。這些無源元件的組合構成了 RC、RL、LR、LC 和 LCR 電路。LCR 電路是由電感器、電容器和電阻器串聯或並聯連線而成的電路。LCR 電路的阻抗 (Z)

$$\mathrm{Z=\sqrt{R^2+\lbrace \omega L-\frac{1}{\omega C}\rbrace^2}}$$

在找到解析解後，得到 LCR 電路中電流的方程：

$$\mathrm{i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=q_m \omega cos(\omega t+ θ)=i_m \omega cos(\omega t+ θ)=i_m sin(\omega t+ ϕ)}$$

常見問題

1. 描述諧振頻率。

當系統的振盪頻率等於其固有頻率時，稱為諧振頻率。

2. 電感器、電阻器和電容器的共同點是什麼？

這些器件是雙端線性器件。這些器件隨著施加電壓的增加，線性地透過電路傳輸電流。

3. 電感器在 LCR 電路中的重要性是什麼？

只有施加電流時，電感器才能儲存磁能。電感器以磁場的形式保持加速電子的動態能量。

4. LCR 電路的重要性是什麼？

LCR 電路由於以下原因很有用：

• LCR 電路透過控制流經元件的電流來幫助減少功耗，從而防止過熱。

• 它還有助於減少電壓波動，從而防止損壞電子裝置。

• LCR 電路有助於儲存能量並以受控方式釋放能量，這將有助於防止電流流過電阻器。

5. 串聯諧振 LCR 電路如何在電視中使用？

該應用可以在收音機和電視接收機上顯示。收音機/電視的天線攔截來自許多廣播電臺的訊號。如果我們想接收特定的電臺/電視臺，我們可以透過改變調諧電路中電容器的電容來調諧接收機，從而使電路的諧振頻率等於該特定電臺的頻率。