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法學串聯RLC電路：分析與例題
考慮一個由R、L和C串聯組成的電路，跨接在V（有效值）伏特的電源電壓上。電路中流過有效值為I的電流。由於R、L和C串聯連線，因此電流流經所有三個元件都相同。為方便分析，電流可以作為參考相量。因此，
$$ \mathrm{R兩端的電壓，}V_{R}=IR $$
$$ \mathrm{L兩端的電壓，}V_{L}=IX_{L} $$
$$ \mathrm{C兩端的電壓，}V_{C}=IX_{c} $$
其中，
- XL = jωL = 感抗，
- Xc = 1/jωC = 容抗。
- VR 與 I 同相。
- VL 超前電流 I 90°。
- VC 滯後電流 I 90°。
總電壓是VR、VL和VC的相量和，即
$$ \mathrm{V = V_{R}+V_{L}+V_{C}} $$
$$ \mathrm{電壓幅值，}|V|=\sqrt{V_{R}^{2}+(V_{L}-V_{C})^{2}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow |V|=\sqrt{(IR)^{2}+(IX_{L}-IX_{C})^{2}}=I\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}} $$
$$ \mathrm{電壓相角，}\Phi=\tan^{-1}(\frac{V_{L}-V_{C}}{V_{R}})=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}) $$
因此，
$$ \mathrm{電路電流，}I=\frac{|V|\angle\Phi}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}} $$
其中，$(\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}})$ 是對電流流動的阻抗，稱為電路的**阻抗**。用Z表示，因此，
$$ \mathrm{Z=R+jX_{L}+jX_{C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})} $$
$$ \mathrm{阻抗幅值，}|Z|=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}} $$
$$ \mathrm{阻抗角，}\theta=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}) $$
電路功率因數
交流電路的功率定義為有功功率與總功率之比，即
$$ \mathrm{功率因數，}\cos\Phi=\frac{有功功率}{總功率} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow \cos\Phi=\frac{I^{2}R}{I^{2}Z}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}} $$
消耗功率
電路中只有電阻消耗功率，電感和電容不消耗功率。因此，
$$ \mathrm{P=VICos\Phi=(IZ)×I×\frac{R}{Z}=I^{2}R} $$
串聯RLC電路的三種情況
情況1 – 當XL > XC時，即(XL - XC)為正，則相角φ為正，因此電路表現為感性電路，功率因數滯後。
情況2 – 當XL < XC時，即(XL - XC)為負，則相角φ為負，因此電路表現為容性電路，功率因數超前。
情況3 – 當XL = XC時，即(XL - XC)為零，則相角φ為零，因此電路表現為純電阻電路，功率因數為1。
現在，如果外加電壓由下式給出，
$$ u=V_{m}\sin(\omega t) $$
則**電路電流方程**為：
$$ i=I_{m}\sin(\omega t ± \Phi) $$
φ的值為正或負，取決於哪個電抗（XL或XC）占主導地位。
串聯諧振
當阻抗的電抗分量為零時，串聯RLC電路發生諧振，即
$$ (X_{L}-X_{C})=0 $$
$$ \Rightarrow(\omega L-\frac{1}{\omega C})=0 $$
$$ \Rightarrow \omega L=\frac{1}{\omega C} $$
因此，諧振頻率為
$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$
串聯諧振的影響
- XL = XC，因此 ω0 = $1/ \sqrt{LC}$
- ZR = R = 最小值
- 諧振時電路電流，Ir = V/R = 最大值。
- 電路功率因數為1。因此，電路為純電阻電路。
- 電感和電容上的電壓相等，即VL= VC。
諧振曲線
電流和頻率之間的曲線稱為**諧振曲線**。
由於
$$ \mathrm{下限截止頻率，}\omega_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}} $$
$$ \mathrm{上限截止頻率，}\omega_{2}=\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}} $$
因此，電路的**頻寬**為
$$ \mathrm{BW=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{R}{L}} $$
串聯諧振電路的Q因子
電路的**Q因子**(品質因數)定義為無功功率與有功功率之比，即
$$ \mathrm{Q因子=\frac{無功功率}{有功功率}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{I^{2}X_{L}}{I^{2}R}=\frac{I^{2}X_{c}}{I^{2}R}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{\omega CR}} $$
在諧振時，
$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q_{0}因子=\frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{L}{R\sqrt{LC}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}} $$
數值例子
一個240V、50Hz的交流電源施加到一個0.08H電感和4Ω電阻的線圈上，該線圈與一個8μF的電容串聯。計算以下各項：
- 阻抗
- 電路電流
- 電壓和電流之間的相角
- 功率因數
- 消耗功率
- 諧振頻率下電路的Q因子。
解答
這裡，
$$ \mathrm{X_{L}=\omega L=2\pi fL=2\pi×50×0.08=25.12 Ω} $$
$$ \mathrm{X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi×50×8×10^{-6}}=398.09 Ω} $$
因此，
- 電路阻抗
$$ \mathrm{Z=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(25.12-398.09)^{2}}=372.99 Ω} $$
- 電路電流
$$ \mathrm{I=\frac{V}{Z}=\frac{240}{372.99}=0.643 A} $$
- 電壓和電流之間的相角
$$ \mathrm{\Phi=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R})=\tan^{-1}(\frac{25.12-398.09}{4})=-89.38°} $$
相角的負號表明電流超前電壓。
- 功率因數
$$ \mathrm{cos\phi=\frac{R}{Z}=\frac{4}{372.99}=0.01072 (超前)} $$
- 消耗功率
$$ \mathrm{P=VICos\Phi=240×0.643×0.01072=1.654 W} $$
- 串聯諧振時電路的Q因子
$$ \mathrm{Q_{0}因子=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{0.08}{8×10^{-6}}}=25} $$
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