微分方程

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引言

我們需要開發各種數學模型來建立現實生活中多個變數之間的關係。在此方向上，微分方程起著重要的作用。它們是數學的應用部分，並用於微積分。在本教程中，我們將討論微分方程的含義、階數、度數和型別，並附帶已解決的示例。

微分方程

微分方程是包含函式及其導數的數學表示式。

它描述了變數及其變化率之間的關係。它被用於工程、科學、生物學、金融等領域。

微分方程至少包含一個常微分或偏微分項。

讓我們考慮一下變數 p 相對於 x 的變化率與 x 成正比。給定的語句可以寫成微分方程的形式：

$\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:kx\:(其中k為常數)}$

此外，下面列出了一些微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\sin^{2}x}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:-\:2x\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:-\:\frac{d^{2}q}{dx^{2}}\:+\:p^{2}\:+\:x^{2}\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:p^{2}\:=\:10}$

階數和度數

兩個重要的術語與微分方程相關，包括**階數**和**度數**。讓我們詳細討論每個術語。

階數

微分方程的階數定義為表示式中出現的最高階導數的階數。微分方程按其階數命名。階數可以是任何數字，例如一階、二階、三階或四階。讓我們討論一些例子。

一階微分方程

如果微分方程的階數為一，則稱為**一階微分方程**。這些方程通常以線性形式書寫。它包含函式的一階導數。下面列出了一些一階微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:7x\:=\:1}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:\cos\:x\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:e^{2x}}$

二階微分方程

如果微分方程的階數為二，則稱為**二階微分方程**。它包含函式的二階導數。下面列出了一些二階微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:1\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{1}{x^{2}}\:=\:4}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:e^{2x}\:=\:2}$

度數

微分方程的度數定義為最高階導數的指數或冪。要找到微分方程的度數，我們需要將表示式表示為多項式方程。如果表示式不能表示為多項式表示式，則微分方程將沒有度數。

讓我們考慮一個微分方程的例子：

$\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{3}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:5\:=\:0}$

在這種情況下，微分方程的度數為 3。

微分方程的型別

下面描述了幾種型別的微分方程。

• 常微分方程

• 偏微分方程

• 線性微分方程

• 非線性微分方程

• 齊次微分方程

• 非齊次微分方程

讓我們詳細討論每種型別的微分方程

常微分方程

常微分方程包含一個或多個自變數的函式及其導數項。它的縮寫是**ODE**。下面列出了一些常微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:7x^{4}\:=\:-8}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:x\:-\:y}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:x\:=\:5}$

偏微分方程

偏微分方程包含多個自變數、一個因變數以及因變數相對於自變數的偏導數。它的縮寫是 PDE。下面列出了一些偏微分方程的例子

• $\mathrm{\frac{\partial^{2}p}{\partial^{2}x}\:+\:5px\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{\partial^{2}p}{\partial^{2}x}\:+\:\frac{\partial^{2}q}{\partial^{2}x}\:-\:4p^{2}\:=\:0}$

線性微分方程

包含多個項的導數的線性多項式方程稱為線性微分方程。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:2x^{2}y\:=\:-1}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:x\:=\:-8}$

非線性微分方程

不能表示為線性多項式形式的微分方程稱為非線性微分方程

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:p^{\frac{1}{3}}}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:6x\:=\:2p^{4}}$

齊次微分方程

如果微分方程 𝑓(𝑥, 𝑦) 可以表示為 $\mathrm{m^{n}\:g(x\:,\:y)}$，則它稱為齊次微分方程

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x\:+\:5}{x\:-\:5}}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x^{2}}{x^{2}\:-\:4}}$

非齊次微分方程

如果微分方程 𝑓(𝑥, 𝑦) 不能表示為 $\mathrm{m^{n}\:g(x\:,\:y)}$，則它稱為非齊次微分方程。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x^{2}\:-\:2}{x}}$

已解決的示例

示例 1

確定以下微分方程的階數和度數：

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{3}})^{2}\:+\:(\frac{dp}{dx})^{4}\:+\:2x\:=\:0}$

**解答**：

給定微分方程中存在的最高階導數為 3 階。

因此，方程的階數為 3。

類似地，度數是最高階導數的指數。在這種情況下，度數為 2。

∴ 給定微分方程的階數和度數分別為 3 和 2。

示例 2

說明以下哪些微分方程是線性的：

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:x^{3}y\:=\:5}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:lnp\:-\:6\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:y^{5}\:=\:0}$

**解答**：

• 由於項 $\mathrm{\frac{dp}{dx}}$ 和 y 是線性的；因此，第一個方程是線性微分方程。

• lnp 不是線性項。因此，第二個方程不是線性微分方程。

• $\mathrm{y^{5}}$ 不是線性項。因此，第二個方程不是線性微分方程。

示例 3

檢查函式 $\mathrm{p\:=\:2x^{2}}$ 是否是 $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:0}$ 的解。

給定的解是 $\mathrm{p\:=\:2x^{2}}$

現在，對等式兩邊求導。

$\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{d}{dx}\:(2x^{2})\:=\:4x}$

再次對等式兩邊求導。

$\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\:(4x)\:=\:4}$

現在，將 $\mathrm{p\:,\:\frac{dp}{dx}\:and\:\frac{d^{2}p}{dx^{2}}}$ 的值代入給定的微分方程。

$\mathrm{LHS\:=\:\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:4\:+\:4x\:-\:4\:=\:\:4x\:\neq\:0}$

因此，$\mathrm{LHS\:\neq\:RHS}$

∴ 給定函式不是 $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:0}$ 的解。

文字題

**問題 1** − 確定以下微分方程的階數和度數：

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{\frac{1}{2}}\:+\:(\frac{dp}{dx})^{2}\:+\:2x\:=\:0}$

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{3}})^{4}\:-\:(\frac{dp}{dx})^{5}\:-\:7x^{2}\:=\:0}$

**問題 2** − 檢查函式 𝑝 = 𝑙𝑛𝑥 是否是 $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{2}\:-\:5\:\frac{dp}{dx}\:=\:0}$ 的解。

**問題 3** − 培養物中細菌的數量在任何時間都是初始種群數量的 m 倍。制定微分方程。

結論

本教程簡要介紹了微分方程。此外，還簡要討論了與微分方程相關的基本術語。此外，還提供了一些已解決的示例，以便更好地理解這一概念。總之，本教程可能有助於理解微分方程的基本概念。

常見問題解答

1. 微分方程可以有多少個解？

微分方程可能有多個解。

2. 微分方程的應用是什麼？

它們被用於工程、科學、生物學、金融等各個領域。具體而言，它們被用於解決與電流、物體運動、微生物生長和熱力學概念相關的難題。

3. 如何找到微分方程的解？

微積分中使用兩種方法來確定微分方程的解。

• 變數分離法

• 積分因子法

我們將在下一個教程中詳細分析這些方法。

4. 你所說的精確微分方程是什麼意思？

如果一階微分方程的結果是一個簡單的微分，則稱其為精確微分方程。

5. 微積分和微分方程有什麼區別？

微積分是數學的一個分支，涉及微分和積分。微分方程是微積分的一種型別，它處理變數及其導數項。