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法律研究協方差和相關係數在投資組合理論中如何使用？
將多種證券組合在一起以降低風險的過程稱為分散投資。為了理解分散投資的機制和力量，有必要更仔細地考慮協方差或相關性對投資組合風險的影響。
讓我們按類別研究這個問題 -
當證券收益完全正相關時，
當證券收益完全負相關時，以及
當證券收益不相關時。
證券收益完全正相關
當淨資產收益完全正相關時，兩種證券之間的相關係數為+1。因此，兩種證券的收益將一起上升或下降。完全正相關的投資組合方差使用以下公式計算 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由於𝑟12 = 1，這可以改寫為 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 \times 1 \times 2\:σ_{1}σ_{2}}$$
等式的右邊與恆等式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2的展開式具有相同的形式
因此，它可以簡化為，
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2})^{2}}$$
然後標準差 (SD) 變為 $(σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2})$，這僅僅是單個證券標準差的淨平均值。
示例
證券 P 的標準差 = 50
證券 Q 的標準差 = 30
在 P 中投資的比例 = 0.4
在 Q 中投資的比例 = 0.6
相關係數 = +1.0
投資組合標準差可以計算為 -
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}=(0.4 \times 50)+ (0.6 \times 30) = 38}$$
作為單個證券 SD 的加權平均數，投資組合 SD 將位於兩個單獨的單個證券的標準差之間。在給定的示例中，它將在 50 和 30 之間變化。
例如，如果在 P 和 Q 中投資的比例分別為 0.75 和 0.25，則投資組合標準差變為 -
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}=(0.75 \times 50) + (0.25 \times 30) = 45}$$
因此，當資產的證券收益完全正相關時，分散投資僅提供風險平均化，不提供風險降低。發生這種情況是因為投資組合風險無法降低到低於每個單獨資產的風險。因此，當證券收益完全正相關時，分散投資沒有成效。
證券收益完全負相關
在這種情況下，它們之間的相關係數變為 -1。投資組合的兩個收益將朝著完全相反的方向移動。投資組合方差由下式給出 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由於 𝑟12 = −1，這可以改寫為 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} - 2 \times 1 \times 2 σ_{1}σ_{2}}$$
等式的右邊與恆等式(a - b)2 = a2 - 2ab + b2的展開式具有相同的形式
因此，它可以簡化為，
$$\mathrm{({σ_{ρ}})^{2} = (𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2})^{2}}$$
然後標準差 (SD) 變為 $(σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2})$
對於上面考慮的說明性投資組合，當相關係數為 -1 時，我們可以計算投資組合標準差。
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2}=(0.40 \times 50) − (0.60 \times 30) = 2}$$
投資組合風險可能會降至零。例如，當 P 和 Q 分別為 0.375 和 0.625 時，投資組合標準差變為 -
$$\mathrm{σ_{ρ}=(0.375 × 50) − (0.625 × 30) = 0}$$
在這裡，儘管投資組合有兩個風險資產，但投資組合總體上沒有風險。因此，當證券收益完全負相關時，投資組合風險可能為零。
證券收益不相關
當兩個證券的收益完全不相關時，相關係數將為零。投資組合方差的公式為 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2\:𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由於 𝑟12 = 0，等式中的最後一項變為零；該公式可以改寫為 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2}}$$
然後標準差變為 -
$$\mathrm{σ_{ρ}=\sqrt{𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}}}$$
對於我們的說明性投資組合，
$$\mathrm{σ_{ρ}=\sqrt{(0.4)^{2}(50)^{2} + (0.6)^{2}(30)^{2}}=\sqrt{400 + 324}= 26.91}$$
投資組合 SD 小於投資組合中單個證券的標準差。因此，當證券收益完全不相關時，分散投資會降低風險並變得有效。
我們可以得出結論，風險始終會降低，除非雙資產投資組合的證券收益完全正相關。隨著相關係數從 +1 降至 -1，投資組合 SD 也自動下降。但是，當證券收益負相關時，風險降低最為明顯。
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