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法律研究投資組合風險如何取決於資產之間的相關性？
投資組合風險與收益
投資組合的總體標準差 (SD) 與以下因素相關 -
每個個體方差的加權平均數，以及
投資組合中所有資產之間的一般加權協方差。
當一個新的資產被新增到一個包含許多資產的大型投資組合中時，這個新資產會以兩種方式改變投資組合的 SD。它會影響 -
新資產自身的方差，以及
新資產與投資組合中每個其他資產之間的協方差。
眾多協方差的淨效應將比資產自身方差的影響更為重要。在投資組合中選擇和包含的資產越多，這種效應就越明顯。
因此，一項新投資與投資組合中所有其他投資的平均協方差比新資產自身的方差更重要。
包含彼此之間不完全正相關的證券將降低投資組合的 SD。投資組合中兩個資產收益之間的相關性越低，投資組合風險越低，因此多元化收益越高，反之亦然。
注意 - 多元化的大部分收益發生在兩個資產之間的淨相關性為 -1.00 時。
下圖是一個投資組合，其淨 SD 為零，因此是一個無風險投資組合。當兩個朝相反方向移動的資產組合在一起時，就會發生這種情況。
資產 B 的收益與資產 A 的收益方向相反。
A 和 B 之間的中間點顯示了沒有變異性的平均平均收益。
該投資組合的平均 SD 為零。
這是一個無風險投資組合的示例。
在雙資產投資組合中，理想的情況提供了資產收益的明顯對比，類似於上面所示的“鋸齒”圖。因此，一項資產通常完全抵消另一項資產（在風險方面），提供平穩的收益率且沒有變異性。但是，為此，這兩個資產必須具有完美的負相關性。
$$\mathrm{σ_{Portfolio} =\sqrt{(𝑤_{𝑖})^{2}(σ_{𝑖})^{2} + (𝑤_{j})^{2}(σ_{j} )^{2}+ 2\:𝑤_{𝑖}𝑤_{j}\:Cov_{𝑖,𝑗}}}$$
因此，最大程度的風險降低取決於相關係數。相關係數驅動著整個投資組合多元化理論。
完全正相關的示例
假設以下資料，投資組合 (E) 的 SD 是多少？
- $σ_{1}$ = 0.1
- $𝑤_{1}$ = 0.5
- $σ_{2}$ = 0.1
- $𝑤_{2}$= 0.5
- $ρ_{12}$ = 1
解決方案
$Cov_{12} = σ_{1} × ρ_{2} × ρ_{12} = 0.1 \times 0.1 \times 1 = 0.01$
投資組合的標準差 = 0.10（完全相關）
假設投資組合中有三個證券，則標準差由以下公式給出 -
$$\mathrm{σ_{Portfolio} =\sqrt{(𝑤_{𝑖})^{2}(σ_{𝑖})^{2} + (𝑤_{j})^{2}(σ_{j})^{2}+ (𝑤_{k})^{2}(σ_{k})^{2} +2\:𝑤_{𝑖}𝑤_{j}\:Cov_{𝑖,𝑗} + 2\:𝑤_{j}𝑤_{k}\:Cov_{𝑗,𝑘} + 2 \:𝑤_{k}𝑤_{𝑖}\:Cov_{𝑘,𝑖}}}$$
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