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法律研究求 100 到 200 之間所有能被 9 整除的整數的和。
待辦事項
我們必須找到所有
(i) 能被 9 整除
(ii) 不能被 9 整除
解答
(i) 100 和 200 之間能被 9 整除的整數為 \( 108,117,126, \ldots, 198 \)。
該序列為等差數列。
這裡，
\( a=108 \) 且 \( d=117-108=9 \)
\( l=198 \)
我們知道，
$l=a+(n-1) d$
$\Rightarrow 198=108+(n-1) \times 9$
$\Rightarrow 198=108+9n-9$
$\Rightarrow 198-99=9 n$
$\Rightarrow n=\frac{99}{9}=11$
因此，
$n=11$
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$S_{11}=\frac{11}{2}[2 \times 108+(11-1) \times 9]$
$=\frac{11}{2}[216+10 \times 9]$
$=11(108+45)$
$=11 \times 153$
$=1683$
100 到 200 之間所有能被 9 整除的整數的和為 $1683$。
(ii) 100 和 200 之間不能被 9 整除的整數的和 = 100 和 200 之間所有整數的和 - 100 和 200 之間能被 9 整除的整數的和
100 和 200 之間的整數為 \( 101,102,103, \ldots, 199 \)。
該序列為等差數列。
這裡，
\( a=101 \) 且 \( d=102-101=1 \) \( l=199 \)
我們知道，
$l=a+(n-1) d$
$\Rightarrow 199=101+(n-1) \times 1$
$\Rightarrow 199=101+n-1$
$\Rightarrow 199-100=n$
$\Rightarrow n=99$
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=\frac{99}{2}[2 \times 101+(99-1) \times 1]$
$=\frac{99}{2}[202+98 \times 1]$
$=\frac{99}{2}(202+98)$
$=99 \times 150$
$=14850$
從 (i) 中
100 到 200 之間所有能被 9 整除的整數的和為 $1683$。
因此，
所有
$=13167$
100 和 200 之間所有不能被 9 整除的整數的和為 $13167$。
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