電容儲存的能量 – 公式及示例

---

電容器是一種電子電路元件，它以靜電荷的形式儲存電能。因此，電容器在其內部儲存勢能。這種儲存的電能可以在需要時獲得。理想情況下，電容器不消耗能量，而是儲存能量。

典型的電容器由兩個金屬板組成，這兩個金屬板之間隔著一層絕緣材料，稱為介電材料。當電容器的這兩個金屬板連線到電源時，電容器開始充電並在其介電材料中儲存電能。因此，推匯出電容器中這種儲存能量的表示式非常重要，這樣我們就可以選擇合適的電容器來進行電路設計。

電容器中儲存的能量

如上所述，電容器以靜電荷的形式儲存電能。因此，帶電電容器會產生靜電場。當電容為C法拉的電容器連線到V伏特的電池上時，如圖1所示。在這種情況下，整個電池電壓V都加在電容器的兩極板上。結果，電容器的A極板帶正電，而B極板帶負電。兩極板之間的電位差會在電容器的介電材料中建立一個從A極板指向B極板的電場。

由於這種電力，介電材料靠近正極板的一端將帶負極性，而靠近負極板的一端將帶正極性。因此，在電容器內會產生靜電荷（和靜電場）。在這種情況下，據說電容器已充電並儲存了有限量的能量。

現在，讓我們推匯出電容器中儲存能量的表示式。為此，假設在充電的任何階段，電容器中儲存的電荷為q庫侖，電容器兩極板的電壓為v伏特。那麼，

$$\mathrm{q\propto v}$$

$$\mathrm{\Rightarrow q=C v}$$

根據電壓的定義，在電容器中儲存1庫侖的電荷需要做v焦耳的功。因此，為了在電容器中儲存dq庫侖的電荷，所做的功是：

$$\mathrm{dW=v\, dq}$$

$$\mathrm{\Rightarrow dW=v\, d\left ( Cv \right )}$$

$$\mathrm{\therefore dW=Cv\, dv}$$

對兩邊積分，得到將未充電電容器的電壓提高到V伏特所做的總功。

$$\mathrm{W=C\int_{0}^{v}v\, dv=C\left [ \frac{v^{2}}{2} \right ]_{0}^{v}}$$

$$\mathrm{\therefore W=\frac{1}{2}CV^{2}}$$

這項功將以勢能（靜電場）的形式儲存在電容器中。

此外，

$$\mathrm{C=\frac{Q}{V}\: and\: V=\frac{Q}{C}}$$

因此，電容器中儲存的能量也可以表示為：

$$\mathrm{W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}}$$

如果電荷Q以庫侖為單位給出，C以法拉為單位，V以伏特為單位，則電容器中儲存的能量將以焦耳表示。

從電容器儲存能量的公式可以看出，電容器儲存的能量與流過電容器的電流無關。

注意 – 純電容器或理想電容器不消耗能量，而是儲存能量，並在向電路供電時返回儲存的能量。

數值示例（1）

一個電容為0.5 μF的電容器連線到120 V的電池上。確定電容器中儲存的能量。

解答

給定資料：

• 𝐶 = 0.5 μF = 0.5 × 10⁻⁶F
• 𝑉 = 120 V

電容器中儲存的能量為：

$$\mathrm{W=\frac{1}{2}CV^{2}=\frac{1}{2}\times \left ( 0.5\times 10^{-6} \right )\times 120^{2}}$$

$$\mathrm{\therefore W=3.6\times 10^{-3}J=3.6\, mJ}$$

數值示例（2）

當電容器連線到240 V的電源時，它儲存了50 mC的電荷。計算電容器中儲存的能量。

解答

給定資料：

• 電壓，𝑉 = 240 V
• 電荷，𝑄 = 50 mC = 50 × 10⁻³ C

電容器中儲存的能量由下式給出：

$$\mathrm{W=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}\times \left ( 50\times 10^{-3} \right )\times 240}$$

$$\mathrm{\therefore W=6\, Joules}$$

結論

從上面的討論可以看出，電容器以靜電場形式儲存電能，這種儲存的能量被稱為勢能，因為它是由電位差引起的。

從電容器儲存能量的表示式可以看出，儲存的能量與電容器的電容成正比，這意味著對於相同的電壓，電容更大的電容器可以儲存更多的能量，反之亦然。

由於其儲能特性，電容器被廣泛應用於各種電氣和電子電路中，例如充電器、電容器組、計算機電路等。