電容的充電 – 公式、圖表和示例

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電容是電氣和電子電路中使用的無源電路元件，用於引入電容。電容定義為物質的一種屬性，它以靜電場的形式儲存電能。

典型的電容由兩個金屬極板組成，這兩個極板由介電材料隔開。正是這種介電材料能夠以靜電荷的形式儲存電能。

當電容連線到電源時，以靜電場形式儲存電能的過程稱為電容的充電。這種儲存在靜電場中的能量可以在以後的時間點傳遞到電路。

在本文中，我們將討論電容的充電，並將推匯出充電過程中電容中儲存的電壓、電流和電荷的方程式。

什麼是電容的充電？

如前所述，電容的充電是將能量以靜電荷的形式儲存在電容介電介質中的過程。

考慮一個未充電的電容，其電容為 C 法拉。該電容透過電阻 R 和開關 S 連線到 V 伏特的直流電壓源，如圖 1 所示。

當開關 S 關閉時，電容開始充電，即充電電流開始流過電路。該充電電流在開關瞬間最大，並隨著電容兩端的電壓逐漸增大而逐漸減小。一旦電容充電到等於電源電壓 V 的電壓，充電電流將變為零。

因此，為了理解電容的充電，我們考慮以下兩個時刻：

時刻 1 - 開關閉合時

在開關瞬間，電容兩端的電壓為零，因為我們最初使用的是完全放電的電容。在這個時刻，整個電源電壓 V 降落在電阻 R 上，充電電流最大（例如 I_m）。

因此，

$$\mathrm{初始充電電流，I_{m}=\frac{V}{R}}$$

$$\mathrm{電容兩端的電壓，V_{C} = 0}$$

$$\mathrm{電容上的電荷，Q_{C} = 0}$$

時刻 2：任意時刻“t”

關閉開關 S 後，電容兩端的電壓開始增加，電路中的充電電流開始逐漸減小。設在電容充電過程中的任意時刻 t，

$$\mathrm{充電電流 = i}$$

$$\mathrm{電容兩端的電壓，V_{C} = v}$$

$$\mathrm{電容上的電荷，Q_{C} = q = Cv}$$

現在，在電路中應用基爾霍夫電壓定律，我們可以寫出：

$$\mathrm{V=v+iR\: \cdot \cdot \cdot (1)}$$

$$\mathrm{\因為電容中的電流，i=C\frac{dv}{dt}}$$

$$\mathrm{\所以 V=v+CR\frac{dv}{dt}}$$

重新排列方程式，我們得到：

$$\mathrm{\frac{dv}{V-v}=\frac{dt}{RC}}$$

對兩邊積分，我們得到：

$$\mathrm{\int \frac{dv}{V-v}=\int \frac{dt}{RC}}$$

$$\mathrm{\因為 \int \frac{dx}{1-x}=-log_{e}\left|1-x \right|}$$

使用這個積分恆等式，我們得到：

$$\mathrm{-log_{e}\left ( V-v \right )=\frac{t}{RC}+K}$$

其中，K 是一個常數，其值可以由電容的初始條件確定。因此，在 t = 0 時，v = 0。

$$\mathrm{\所以 K=-log_{e}V }$$

將 K 的這個值代入上述表示式，我們得到：

$$\mathrm{-log_{e}\left ( V-v \right )=\frac{t}{RC}-log_{e}V}$$

$$\mathrm{\Rightarrow log_{e}\left ( V-v \right )-log_{e}V=-\frac{t}{RC}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow log_{e}\left ( \frac{V-v}{V} \right )=-\frac{t}{RC}}$$

對兩邊取反對數，我們得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{V-v}{V}=e^{-\frac{t}{RC}}}$$

重新排列這個方程式，我們得到：

$$\mathrm{v=V\left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )\: \cdot \cdot \cdot \left ( 2 \right )}$$

公式 (2) 中的表示式給出了任意時刻 t 時的電容兩端的電壓。它表明電容在充電過程中電壓的增加遵循指數規律。

公式 (2) 還表明，隨著 t 的增加，指數項 e^-t/RC 減小，電容兩端的電壓增加。當項 e^-t/RC 變為零時，電容兩端的電壓將等於電源電壓 V，並且據說電容已完全充電。當電容完全充電時，電阻 R 上的電壓降為零。

電容上的電荷

如果電容在任意時刻 t 的電荷為 q，並且當電容完全充電時為 Q。對於電容，我們有：

$$\mathrm{v=\frac{q}{C}\: 和\: V=\frac{Q}{C}}$$

然後，從公式 (2)，我們有：

$$\mathrm{\frac{q}{C}=\frac{Q}{C}\left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )}$$

$$\mathrm{\所以 q=Q\left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 3 \right )}$$

這表明電容極板上的電荷在充電過程中呈指數增長。

電容的充電電流

從公式 (1)，我們有：

$$\mathrm{V-v=iR\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 4 \right )}$$

從公式 (2)，我們有。

$$\mathrm{V-v=Ve^{-\frac{t}{RC}}\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 5 \right )}$$

因此，

$$\mathrm{iR=Ve^{-\frac{t}{RC}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow i=\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{RC}}}$$

$$\mathrm{\所以 i=I_{m}e^{-\frac{t}{RC}}\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 6 \right )}$$

其中，I_m 是初始充電電流。從公式 (6) 可以看出，電容的充電電流在電容的充電過程中呈指數衰減。

電容充電的圖形表示

電容充電電壓和電流的圖形表示如圖 2 所示。

數值示例

一個 5 μF 的電容與一個 1 MΩ 的電阻串聯，連線到 250 V 的電源上。計算：初始充電電流，以及連線到電源 5 秒後電容上的充電電流和電壓。

解答

已知資料：

• 電容，C = 5 μF
• 串聯電阻，R = 1 MΩ
• 電源電壓，V = 250 V

初始充電電流

$$\mathrm{I_{m}=\frac{V}{R}=\frac{250}{1}=250\, \mu A}$$

5 秒後的充電電流

$$\mathrm{i=I_{m}e^{\frac{t}{RC}}=250\times e^{\left ( \frac{-5}{1\times 10^{6}\times 5\times10^{-6}} \right )} }$$

$$\mathrm{i=250\times 0.367=91.75\, \mu A }$$

5 秒後電容兩端的電壓

$$\mathrm{v=V\left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )}$$

$$\mathrm{\Rightarrow v=250 \left [ 1-e^{\left ( \frac{-5}{1\times 10^{6}\times 5\times10^{-6}} \right )} \right ] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow v=250 \times 0.633 = 158.25 V }$$

結論

從以上討論可以得出結論，在電容充電過程中，電容兩端的電荷和電壓呈指數增長，而充電電流呈指數衰減。帶電電容以靜電荷的形式在電容極板之間的介電介質中儲存電能。