電感和電容的品質因數

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作為振盪系統（例如交流電路）的一個引數，它表示儲存能量和能量耗散之間的關係，被稱為系統的品質因數。品質因數也稱為Q值。

從數學上講，交流電路的品質因數或Q值由電路中儲存的最大電能與一個週期內耗散的能量之比給出，即：

$$\mathrm{ Q \: 因數 =\frac{2\pi \times 每週期最大儲存能量}{每週期耗散能量} } $$

只有包含儲能元件的電路才能定義品質因數（Q值）。在交流電路中，有兩個儲能元件，即電感和電容。因此，在本文中，我們將討論電感和電容的品質因數。

電感的品質因數

電感是一種無源電路元件，它以磁場的形式儲存電能。電感儲存磁場能量的特性稱為電感。

電感是透過將導線纏繞成線圈來製造的。理想情況下，電感應具有非常高的電感和零電阻，但實際電感除了電感外還具有小的電阻。因此，為了獲得更好的品質電感，電感電阻的值應儘可能低。

電感電阻值低和電感值高表示電感每週期儲存的最大能量大於每週期耗散的能量。這樣的電感具有高品質因數。

對於給定的工作頻率，電感的品質因數或Q值定義為電感中儲存的最大能量與每週期耗散的能量之比，即：

$$\mathrm{ Q \: 因數 =\frac{I^{2}X_{L}}{I^{2}R}=\frac{X_{L}}{R} =\frac{\omega L}{R}} $$

其中，L是電感的電感，R是電感的電阻。

因此，電感的品質因數由電抗除以電感電阻給出。

品質因數是無量綱量

X_L和R的單位相同，即歐姆。因此，品質因數是無量綱量。

現在，讓我們證明上述電感品質因數的表示式。

考慮一個具有L亨利電感和R歐姆電阻的電感。它連線到一個V伏交流電壓源，其角頻率為ω弧度/秒。設電路中的最大電流為I_m。

則電感中儲存的最大能量由下式給出：

$$\mathrm{W_{m}=\frac{1}{2}LI_{m}^{2}}$$

此外，由於電感電阻在一個週期內在電感中耗散的能量由下式給出：

$$\mathrm{W_{d}=\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2}\, RT=\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2}\times R\times \frac{1}{f}}$$

其中，T是交流電壓的週期。

因此，根據品質因數的定義，我們得到：

$$\mathrm{Q\: 因數=\frac{2\pi \times \left ( \frac{1}{2}LI_{m}^{2} \right )}{\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2}\times R\times \frac{1}{f}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Q\: 因數=\frac{2\pi fL}{R}=\frac{\omega L}{R}= \frac{X_{L}}{R}}$$

因此，這就是電感的品質因數。

電容的品質因數

電容也是一種電路元件，它以靜電能的形式儲存電能。理想電容的電阻應為零，電容應非常高。但是，實際電容除了電容外還具有小的電阻。為了獲得更好的電容品質，該電阻的值應更低。

電容設計用於儲存能量，但由於內部電阻，它還會耗散一部分輸入能量。提供有關電容質量資訊的引數稱為電容的品質因數。

對於ω rad/sec的工作頻率，電容的品質因數定義為儲存的最大能量與在一個週期內在電容中耗散的能量之比，即：

$$\mathrm{Q\: 因數=\frac{I^{2}X_{c}}{I^{2}R}=\frac{X_{c}}{R}=\frac{1}{\omega CR}}$$

其中，𝑋_𝐶是容抗，R是電容的電阻。

考慮一個具有C法拉電容和R歐姆電阻的電容。它連線到一個V伏交流電壓源。

如果𝑉_𝑚是電源電壓的最大值，則電容中儲存的最大能量由下式給出：

$$\mathrm{W_{m}=\frac{1}{2}CV_{m}^{2}}$$

但是，R << X_C，因此：

$$\mathrm{V_{m}=I_{m}X_{c}=\frac{I_{m}}{\omega C}}$$

因此，每週期在電容中儲存的最大能量由下式給出：

$$\mathrm{W_{m}=\frac{1}{2}\left ( \frac{I_{m}^{2}}{\omega ^{2}C} \right )}$$

而且，由於電容電阻在一個週期內在電容中耗散的能量由下式給出：

$$\mathrm{W_{d}=\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2}\,RT=\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2} R\times \frac{1}{f}}$$

因此，電容的品質因數將為：

$$\mathrm{Q\: 因數=2\pi \times \left [ \frac{\frac{1}{2}\left ( \frac{I_{m}^{2}}{\omega ^{2}C} \right )}{\left ( \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \right )^{2}\, R\times \frac{1}{f}} \right ]=\frac{1}{\omega RC}=\frac{X_{C}}{R}}$$

因此，這就是電容的品質因數。

數值例子 (1)

一個具有2 mH電感和1 Ω電阻的實際電感連線到一個50 Hz頻率的交流電壓源。確定電感的品質因數。

解答

給定資料：

• 電感，𝐿 = 2 mH = 2 × 10⁻³H
• 電阻，𝑅 = 1 Ω
• 頻率，𝑓 = 50 Hz

因此，電感的品質因數為

$$\mathrm{Q\: 因數=\frac{2\pi fL}{R}=\frac{2\pi \times 50\times 2\times 10^{-3}}{1}=0.628}$$

數值例子 (2)

一個3 μF的電容具有1.5 Ω的電阻，並連線到一個50 Hz頻率的交流電源。確定電容的品質因數。

解答

給定資料：

• 電容，𝐶 = 3 μF = 3 × 10⁻⁶ F
• 電阻，𝑅 = 1.5 Ω
• 頻率，𝑓 = 50 Hz

因此，電容的品質因數由下式給出：

$$\mathrm{Q\: 因數=\frac{1}{2\pi fRC}=\frac{1}{2\pi \times 50\times 1.5\times3\times 10^{-6}}}$$

$$\mathrm{\therefore Q\: 因數=0.001413}$$

結論

從以上討論中，我們可以得出結論：如果電阻遠小於其電抗電感，則電感將具有高品質因數。電感的高品質因數表明它將在交流電源的一個週期記憶體儲更多能量並耗散更少能量。

同樣，如果電容的容抗大於其電阻，則認為電容具有高品質，以便它僅耗散少量能量。