交流電壓加在電感器上

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介紹

交流電壓是由交流電引起的。當載流導體在磁場中旋轉時，磁通量的變化會線上圈中感應出交流電壓。這被稱為感應電動勢。電感器是一個線圈，當交流電透過它時會在其中感應出反電動勢。這種反電動勢產生一個與交流輸入相反的電流。

交流電壓

交流電(AC) 定義為定期改變其方向和大小的電流。因此，交流電壓是交流電流流經的端子之間的電壓差。數學上，交流電壓和交流電流可以表示為

$$\mathrm{V(t)=V_0\:sin(\omega t)}$$

$$\mathrm{I(t)= I_0\:sin(\omega t)}$$

電感器

電感器是一種無源電子元件，它透過將電能轉換為磁能來儲存能量。電感器是由絕緣導線繞成的線圈，當流過它的電流發生變化時，它的磁場也會發生變化。從而感應出電動勢。這個感應電動勢會阻礙電路中電流的流動。楞次定律指出，電路中產生的感應電動勢總是與流過它的電流方向相反。根據此定律，感應電動勢為：

$$\mathrm{V =- L\frac{di}{dt}}$$

其中 i=電源電流，L 是線圈的電感

電感 (L) 及其型別

電路中感應電動勢與電流隨時間變化率之比稱為線圈的電感。電感可分為兩種：

• 自感

• 互感

自感

如果透過線圈的電流隨時間變化，則與線圈相關的磁通量也會發生變化，因此會在電路本身中感應出電動勢。這稱為自感。

互感

假設透過初級線圈的電流發生變化，則與線圈相關的磁通量也會發生變化。這種變化會引起次級線圈磁通量的變化，從而在次級電路中感應出電動勢。這稱為互感。兩者都是由於透過線圈的電流發生變化而導致線圈相關的磁通量發生變化而產生的。亨利 (H) 是電感的單位。

帶有交流偏置的電感器

這可以用一個簡單的電路輕鬆描述。在交流電路中，電感器、燈泡和開關串聯連線。當連線開關時，交流電流流過它，但燈泡不會突然亮起。它會緩慢變亮。因為在此期間，感應電流會阻礙電源電流的增長。當斷開開關時，燈泡不會突然熄滅。因為電路中產生的感應電動勢會阻礙電源電流的衰減。在直流電路中，這種阻礙因素定義為電阻。但在交流電路中，它被稱為阻抗。

交流電壓加在電感器上

如果將交流電壓加在電感器上，則磁力線會發生變化，進而與線圈相關的磁通量也會發生變化，從而感應出與電感器電流流動方向相反的電動勢。這種對電流流動的阻礙是由於線圈的交流電阻引起的。這也被稱為感抗 $\mathrm{X_L}$

$$\mathrm{X_L = \omega L}$$

$$\mathrm{X_L = 2\pi fL}$$

https://lizenzhinweisgenerator.de/?lang=en&url=/wiki/File:Sydney_(AU),_Coast,_New_Zealand_sea_lions_--_2019_--_3489.jpg

通常，交流電壓表示為：

$$\mathrm{V(t) = V_0\:sin(\omega t)}$$

$$\mathrm{\omega= 角頻率}$$

$$\mathrm{V_0= 最大電壓}$$

根據法拉第電磁感應定律，感應電動勢表示為：

$$\mathrm{V=-L\frac{di}{dt}}$$

當電流透過電感器時，感應電動勢會阻礙電流的流動。電源電壓必須等於反電動勢才能保持電流平衡。

$$\mathrm{L\frac{di}{dt}=V_0 \:sin(\omega t)}$$

$$\mathrm{\frac{di}{dt}=\frac{V_0 sin(\omega t)}{L}}$$

$$\mathrm{\int \frac{di}{dt}=\frac{V_0}{L}\int sin(\omega t)}$$

(由於 V0 和 L 為常數，因此它們從積分中提出)

積分該方程，我們得到：

$$\mathrm{i=\frac{V_0}{L}(−cos(\omega t)/ \omega)}$$

$$\mathrm{i =\frac{V_0}{L\omega}(−cos \:\omega t) + C}$$

為了找到 C 的值：

如果 $\mathrm{V_0=0}$，則 i=0，這意味著 C=0，因此

$$\mathrm{i =\frac{V_0}{L\omega}(−cos \:\omega t)}$$

$\mathrm{cos\omega t}$ 可以寫成 $\mathrm{sin(90^{\circ}-\omega t)}$

將負號插入 -cosωt 將變為 $\mathrm{sin\:(\omega t- 90^{\circ})}$

這可以修改為：

$$\mathrm{i =\frac{V_0}{L\omega}(sin(\omega t−90^{\circ}))}$$

$$\mathrm{i =\frac{V_0}{X_L}(sin(\omega t−90^{\circ}))}$$

$$\mathrm{i =i_0(sin(\omega t−90^{\circ}))\:\:\:\:\:(as\:\:\frac{V_0}{X_L}=i_0)}$$

$$\mathrm{X_L = L\omega}$$

$\mathrm{X_L}$ = 線圈的感抗

感抗的 SI 單位是歐姆。

$\mathrm{i_0}$ = 最大電流

因此，電感器電路中的電流滯後於電壓 90 度。

交流電路中的功率

電路中的功率會隨著電路中電壓和電流的變化而不斷變化。電感器電路中的功率為

$$\mathrm{P = VI}$$

如果電壓和電流之間存在相位差，則：

$$\mathrm{V(t) = V_0 \:sin(\omega t)}$$

$$\mathrm{I(t) = I_0 \:sin(\omega t-\Phi)}$$

因此功率

$$\mathrm{P = V_0 I_0 \:sin(\omega t-\Phi) sin(\omega t)}$$

因為

$$\mathrm{sinA\:sinB=\frac{1}{2}cos(A-B)-cos(A+B)}$$

$$\mathrm{P=\frac{V_0 I_0}{2}(cos \Phi - cos(2\omega t- \Phi))}$$

平均功率

$$\mathrm{P_{avg}=\frac{V_0 I_0}{2}(\int\: cos⁡\:\Phi- cos(2\omega t-\Phi) )}$$

$$\mathrm{P_{avg}=\frac{V_0 I_0}{2}cos\: \Phi\:\:\:(透過代入極限\: cos(2\omega t-\Phi)=0)}$$

$$\mathrm{P_{avg}=\frac{V I}{2}cos\:\Phi}$$

對於純電感，如果相位差為

$$\mathrm{\Phi=\frac{\pi}{2}\:\:則\:\:cos\frac{\pi}{2}=0}$$

因此功率 $\mathrm{P=0}$

功率因數

交流電路中的功率因數是視在功率與實際功率之比。

$$\mathrm{功率因數=\frac{視在功率}{有功功率}}$$

結論

交流電的大小和方向會定期變化。這種交流電的變化會改變與連線到電源的線圈相關的磁通量，從而線上圈中感應出與電路電流方向相反的電動勢。

在施加交流電壓的電感器電路中，電流滯後於電壓 90 度。這取決於施加電壓的電壓和頻率。對於純電感，消耗的功率為零。因為電壓和電流之間的相位差為零。

常見問題

Q1. 電感為 1.5H 的電感器在 50Hz 的頻率下工作。計算其感抗？

答：感抗為 $\mathrm{X_L=2\Pi fL}$

$$\mathrm{X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 1.5}$$

$$\mathrm{X_L = 471\Omega}$$

因此，電感器的感抗為 $\mathrm{471\Omega}$。

Q2. 純電感電路中電壓和電流之間的關係是什麼？

答：在純電感電路中，電流滯後於電壓 90 度。

Q3. 用數學方法表示交流電流和交流電壓。

答：交流電定義為定期改變其方向和大小的電流。因此，交流電壓是交流電流流經的端子之間的電壓差。數學上，交流電壓和交流電流可以表示為：

$$\mathrm{V(t)= V_0\:sin(\omega t)}$$

$$\mathrm{I(t)= I_0 sin(\omega t)}$$

Q4. 電感器中會發生什麼，它的電壓是多少？

答：電感器是由絕緣導線繞成的線圈，當透過它的電流發生變化時，它的磁場也會發生變化，從而在其與電流流動方向相反的方向上感應出電動勢。該感應電動勢始終與流過電路的電流方向相反。電感器電壓為

$$\mathrm{V=L\frac{di}{dt}}$$

Q5. 定義電感及其單位是什麼？

答：電路中感應電動勢與電流隨時間變化率之比稱為線圈的電感。電感的單位是亨利 (H)。

Q6. 什麼是電磁感應？

答：電感器是由絕緣導線繞成的線圈，當流過它的電流發生變化時，它的磁場也會發生變化，從而感應出電動勢。該感應電動勢會阻礙電流透過電路。這稱為電磁感應，它由法拉第很好地定義。

Q7. 什麼是楞次定律？

答：由於透過電路的交流電流變化而產生的感應電動勢總是與流過它的電流方向相反。