低通濾波器和高通濾波器的特殊功能

低通濾波器作為積分器

在低頻下，容抗趨於無窮大，在高頻下容抗趨於零。因此，在低頻下，LPF 有有限的輸出，在高頻下輸出為零，這與積分器電路相同。因此，可以說低通濾波器可以作為積分器工作。

為了使 LPF 充當積分器

$$τ >> T$$

其中 $τ = RC$ 為電路的時間常數

則 C 上的電壓變化非常小。

$$V_{i}=iR+\frac{1}{C} \int i \:dt$$

$$V_{i}\cong iR$$

$$因為 \:\: \frac{1}{C} \int i \:dt << iR$$

$$i=\frac{V_{i}}{R}$$

$$ 因為 \:\: V_{0}=\frac{1}{C}\int i dt =\frac{1}{RC}\int V_{i}dt=\frac{1}{\tau }\int V_{i} dt$$

$$輸出 \propto \int 輸入$$

因此，具有大時間常數的 LPF 會產生與輸入積分成正比的輸出。

當實際低通濾波器作為積分器工作時的頻率響應如下所示。

如果給積分器電路一個正弦波輸入，則輸出將是餘弦波。如果輸入是方波，則輸出波形的形狀會發生變化，如下面的圖所示。

在低頻下，微分器的輸出為零，而在高頻下，其輸出為某個有限值。這與微分器相同。因此，據說高通濾波器充當微分器。

如果 RC 高通濾波器的時間常數遠小於輸入訊號的週期，則電路表現為微分器。然後，與跨 C 的壓降相比，跨 R 的壓降非常小。

$$V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt +iR$$

但 $iR=V_{0}$ 很小

$$因為 V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt$$

$$i=\frac{V_{0}}{R}$$

$$因為 \: V_{i} =\frac{1}{\tau }\int V_{0} \:dt$$

其中 $τ =RC$ 為電路的時間常數。

兩邊求導，

$$\frac{dV_{i}}{dt}=\frac{V_0}{\tau }$$

$$V_{0}=\tau \frac{dV_{i}}{dt}$$

$$因為 \:V_{0}\propto \frac{dV_{i}}{dt}$$

輸出與輸入訊號的微分成正比。

當實際高通濾波器作為微分器工作時的頻率響應如下所示。

如果給微分器電路一個正弦波輸入，則輸出將是餘弦波。如果輸入是方波，則輸出波形的形狀會發生變化，如下面的圖所示。

這兩個電路主要用於各種電子應用中。當輸入電壓穩定變化時，微分器電路產生恆定的輸出電壓。當施加的輸入電壓恆定時，積分器電路產生穩定變化的輸出電壓。

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