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法律研究電力牽引：電車線垂度和張力的計算
電車線是指由大截面積的銅或銅合金製成的架空線，為電動車輛的電車提供所需的電流。
當一根柔性導線水平懸掛在兩個電杆之間時，它會呈現懸鏈線的形狀。但在有軌電車的情況下，電車線的垂度很少超過跨距長度的 1% 到 1.5%，因此可以認為電車線呈拋物線形狀懸掛，如下圖所示。
設：
$$\mathrm{電車線跨距長度（米）\, \mathrm{\: =\: }\, 2\mathit{l} }$$
$$\mathrm{導線單位長度重量（千克/米）\, \mathrm{\: =\: }\, \mathit{W}}$$
$$\mathrm{導線張力（千克）\, \mathrm{\: =\: }\, \mathit{T}}$$
然後，取支點力矩，我們有：
$$\mathrm{\mathit{TS\, \mathrm{\: =\: }\,Wl\times \left ( \frac{l}{\mathrm{2}} \right )} }$$
其中，S 為電車線的垂度。
$$\mathrm{\therefore 垂度,\mathit{S\, \mathrm{\: =\: }\, \frac{Wl^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}T}} \: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 1 \right )}$$
現在，**所需導線長度的計算方法如下**：
由於拋物線的方程由以下表達式給出：
$$\mathrm{\mathit{y\, \mathrm{\: =\: }\, \frac{Sx^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}}}$$
將式 (1) 中的 δ 的值代入，得到：
$$\mathrm{\mathit{y\, \mathrm{\: =\: }\, \frac{Wx^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}T}} \: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 2 \right )}$$
由於：
$$\mathrm{\mathit{\frac{ds}{dx}\mathrm{\: =\: }\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{\mathrm{2}}}}}$$
$$\mathrm{\left ( \because \mathit{\frac{dy}{dx}\mathrm{\: =\: }\frac{Wx}{T}} \right )}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{\frac{ds}{dx}\mathrm{\: =\: }\sqrt{\mathrm{1\mathrm{\: +\: }}\left ( \frac{Wx}{T} \right )^{\mathrm{2}}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \int \mathit{ds\mathrm{\: =\: }\int \sqrt{\mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\left ( \frac{Wx}{T} \right )^{\mathrm{2}}}dx\mathrm{\: =\: }\int \left [ \mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\frac{W^{\mathrm{2}}x^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}} \right ]^{\mathrm{1/2}}dx}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{s\mathrm{\: =\: }\int \left ( \mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\frac{W^{\mathrm{2}}x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}T^{\mathrm{2}}}\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{3}W^{\mathrm{4}x^{\mathrm{4}}}}{\mathrm{8}T^{\mathrm{4}}}\mathrm{\: +\: }\cdot \cdot \cdot \right )dx}} $$
$$\mathrm{\therefore \mathit{s\mathrm{\: =\: }x\mathrm{\: +\: }\frac{W^{\mathrm{2}}x^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}T^{\mathrm{2}}}\mathrm{\: +\: }\cdot \cdot \cdot } $$
現在，當 𝑥 = 1，即跨距長度的一半時，跨距一半的導線長度由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{s\mathrm{\: =\: }l\mathrm{\: +\: }\frac{W^{\mathrm{2}}l^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}T^{\mathrm{2}}}\mathrm{\: =\: }l\mathrm{\: +\: }\left ( \frac{\mathrm{2}TS}{l^{\mathrm{2}}} \right )^{\mathrm{2}}\times \left ( \frac{l^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}T^{\mathrm{2}}} \right )}} $$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow s\mathrm{\: =\: }l\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{2}S^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}l}}\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 3 \right )} $$
因此，整個跨距長度所需的導線總長度為
$$\mathrm{2\mathit{s\mathrm{\: =\: }\mathrm{2}\left [ l\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{2}S^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}l} \right ]}\: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 4 \right )} $$
此外，導線的長度會隨著溫度的變化而變化，這會導致給定跨距的垂度和張力發生變化。這裡需要注意的是，溫度降低會降低垂度並增加張力。
數值示例
一條有軌電車的電車線懸掛在兩個相距 50 米的電杆之間。如果導線的直徑為 2 釐米，單位長度重量為 1 千克，則在施加 650 千克的張力時，求其垂度。並求所需導線的總長度。
解答
已知資料：
$$\mathrm{跨距長度,\, 2\mathit{l}\mathrm{\: =\: }50\, m} $$
$$\mathrm{半跨距長度,\mathit{l}\mathrm{\: =\: }25\, m}$$
$$\mathrm{導線單位長度重量,\mathit{W}\mathrm{\: =\: }1\, kg}$$
$$\mathrm{施加張力,\mathit{T}\mathrm{\: =\: }650\, kg} $$
因此，導線的垂度為：
$$\mathrm{垂度, \mathit{S\mathrm{\: =\: }\frac{Wl^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}T}}\mathrm{\: =\: }\frac{1\times 25^{2}}{2\times 650}\mathrm{\: =\: }0.481\, m} $$
同樣，所需導線的總長度為：
$$\mathrm{2\mathit{s\mathrm{\: =\: }\mathrm{2}\left [ l\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{2}S^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}l} \right ]}\mathrm{\: =\: }2\times \left [ 25\mathrm{\: +\: }\frac{2}{3}\times \frac{0.481^{2}}{25} \right ]\mathrm{\: =\: }50.0123 \, m} $$
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