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法律研究電力牽引：梯形速度時間曲線
幹線服務的速-時曲線最好且最容易用梯形代替。圖中顯示了幹線服務的簡化梯形速-時曲線。
令，
$\mathit{V_{m}}$ = 最高速度，單位為公里/小時
$\alpha$ = 加速度，單位為公里/小時·秒
$\beta$ = 減速度，單位為公里/小時·秒
T = 執行總時間，單位為秒
$\mathit{t_{\mathrm{1}}}$ = 加速時間，單位為秒
$\mathit{t_{\mathrm{2}}}$ = 自由執行時間，單位為秒
$\mathit{t_{\mathrm{3}}}$ = 減速時間，單位為秒
D = 執行總距離，單位為公里
因此，加速時間（單位為秒）由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{t_{\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}}}{\alpha }}$$
減速時間（單位為秒）為：
$$\mathrm{\mathit{t_{\mathrm{3}}}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}}}{\beta }}$$
因此，自由執行時間（單位為秒）為：
$$\mathrm{\mathit{t_{\mathrm{2}}}\:=\:\mathit{T}-\mathrm{\left (\mathit{t_{\mathrm{1}}} +\mathit{t_{\mathrm{2}}} \right )}\:=\:\mathit{T}-\mathrm{\left ( \frac{\mathit{V_{m}}}{\alpha }+\frac{\mathit{V_{m}}}{\beta } \right )}}$$
現在，執行總距離（單位為公里）為：
$$\mathrm{\mathit{D}\:=\:\mathrm{加速階段行駛距離\:+\:自由執行階段行駛距離\:+\:制動減速階段行駛距離}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{D}\:=\:\mathrm{OABC面積\:=\:AOD三角形面積\:+\:DABE矩形面積\:+\:CBE三角形面積}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{D}\:=\:\mathrm{\left ( \frac{1}{2}\times \mathit{V_{m}}\times \frac{\mathit{t_{\mathrm{1}}}}{3600} \right )}\:+\:\mathrm{\left ( \mathit{V_{m}}\times\frac{\mathit{t_{\mathrm{2}}}}{3600} \right )}\:+\:\mathrm{\left ( \frac{1}{2}\times \mathit{V_{m}}\times \frac{\mathit{t_{\mathrm{3}}}}{3600} \right )}}$$
代入 t1、t2 和 t3 的值，得到：
$$\mathrm{\mathit{D}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\alpha}\:+\:\frac{\mathit{V_{m}} }{3600}\mathrm{\left [\mathit{T}-\mathrm{\left ( \frac{\mathit{V_{m}}}{\alpha }+\frac{\mathit{V_{m}}}{\beta } \right )} \right ]}\:+\:\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\beta }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{D}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\alpha}\:+\:\frac{\mathit{V_{m}} }{3600}\mathit{T}-\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{3600\alpha}-\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{3600\beta}+\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\beta}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{D}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}} }{3600}\mathit{T}-\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\alpha}-\frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{7200\beta}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}{3600}\mathrm{\left ( \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta }\right )}-\frac{\mathit{V_{m}}}{3600}\mathit{T}\:+\:\mathit{D}\:=\:0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}\mathrm{\left ( \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta } \right )}-\mathit{V_{m}}\mathit{T}\:+\:3600\mathit{D}\:=\:0\:\:\:\cdot \cdot \cdot \mathrm{\left ( 1 \right )}}$$
公式 (1) 是關於 $\mathit{V_{m}}$ 的二次方程
代入 $\mathrm{\left ( \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta } \right )}\:=\:\mathit{K}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{KV_{m}^{\mathrm{2}}}-\mathit{V_{m}\mathit{T}}\:+\:3600\mathit{D}\:=\:0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{V_{m}\:=\:\frac{\mathit{T}\pm \sqrt{T^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\mathit{K}\times \mathrm{3600}\mathrm{D}}}{\mathrm{2}\mathit{K}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{V_{m}\:=\:\frac{\mathit{T}}{\mathrm{2}\mathit{K}}\pm \sqrt{\frac{\mathit{T^{2}}}{\mathrm{4}K^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{3600D}}{\mathit{K}}}}}$$
這裡，不能採用 + 號，因為使用 + 號得到的 Vm 值遠高於實際可能達到的值。因此，使用負號，得到：
$$\mathrm{\mathit{V_{m}\:=\:\frac{\mathit{T}}{\mathrm{2}\mathit{K}}- \sqrt{\frac{\mathit{T^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{4}K^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{3600D}}{\mathit{K}}}\:\:\:\cdot \cdot \cdot \mathrm{\left ( 2 \right )}}}$$
根據公式 (2)，可以透過代入已知量的值來獲得未知量。
數值示例
一列火車在水平軌道上的執行時刻表速度為 40 公里/小時，車站之間的距離為 2 公里。車站停車時間為 25 秒。假設制動減速度為 2.5 公里/小時·秒，最大速度比平均速度高 30%，如果速-時曲線近似為梯形曲線，計算執行火車所需的加速度。
解答
已知，
時刻表速度，$\mathit{V_{\mathit{S}}}$ = 40 公里/小時
車站之間的距離，D = 2 公里
$$\mathrm{\therefore \mathrm{執行時刻表時間,}\mathit{T_{S}}\:=\:\frac{\mathit{D}\times 3600}{\mathit{V_{S}}}\:=\:\frac{2\times 3600}{40}\:=\:180\:\mathrm{秒}}$$
$$\mathrm{\mathrm{實際執行時間,}\mathit{T}\:=\:\mathit{T_{S}-\mathit{T_{stop}}}\:=\:180-25\:=\:155\:\mathrm{秒}}$$
現在，
$$\mathrm{\mathrm{平均速度,}\mathit{V_{a}}\:=\:\frac{\mathit{D}\times 3600}{\mathit{T}}\:=\:\frac{2\times 3600}{155}\:=\:46.45\:\mathrm{公里/小時}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{最大速度,}\mathit{V_{m}}\:=\:1.3\mathit{V_{a}}\:=\:1.3\times 46.45\:=\:60.385\:\mathrm{公里/小時}}$$
使用公式 (1)，得到：
$$\mathrm{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}\mathrm{\left ( \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta}\right )}-\mathit{V_{m}T}\:+\:3600\mathit{D}\:=0}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta}\:=\:\frac{\mathit{V_{m}T-\mathrm{3600}\mathit{D}}}{\mathit{V_{m}^{\mathrm{2}}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{2\alpha } +\frac{1}{2\beta}\:=\:\frac{60.385\times 155-3600\times 2 }{\mathrm{\left ( 60.385 \right )^{\mathrm{2}}}}\:=\:0.5922}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{2\alpha } =0.5922-\frac{1}{2\beta}\:=\:0.5922-\frac{1}{2\times 2.5}\:=\:0.3922}$$
$$\mathrm{\therefore \alpha \:=\:\frac{1}{2\times 0.3922}\:=\:1.27\:\mathrm{公里/小時·秒}}$$
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