二元一次方程組的交叉相乘法

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引言

交叉相乘法用於解二元一次方程組。形如 y = mx + b 的代數方程稱為一次方程。在這個方程中，m 是斜率，b 是截距。x 和 y 是這條直線到 x 軸和 y 軸的距離。每個方程的解代表直線上的一個點。

形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是實數，且 a 和 b 的值都不為零。現在這個方程將被稱為二元一次方程，其解給出 x 和 y 的一對解。

二元一次方程組

如果兩個一次方程具有相同的兩個變數 x 和 y，則這類方程稱為“二元一次方程組”。

代數上，二元一次方程組 x 和 y 的一般方程為：a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0，其中 a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂ 都是實數，且 a₁² + b₁² ≠ 0，a₂² + b₂² ≠ 0。

二元一次方程的幾何表示是一條直線。

二元一次方程組表示兩條直線，並存在以下三種可能性：

• 兩條直線相交於一點：

• 兩條直線不相交，這意味著它們是平行的：

• 兩條直線重合：

相容性和不相容性

設 a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0 為兩個線性方程組

沒有解的二元一次方程組稱為**不相容**的二元一次方程組。具有解的二元一次方程組稱為**相容**的二元一次方程組。相應的二元一次方程組具有無限多個不同的公共解，這樣的方程組稱為依賴的二元一次方程組，它總是相容的。

如果兩條直線顯示以下條件：

• 兩條直線相交於一點，給出唯一解：

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ 這表明該方程組是相容的

• 兩條直線可能互相平行，沒有解：

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ 這表明該方程組是不相容的。

• 兩條直線可能重合，給出無限多個解：

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ 這表明該方程組是依賴的（相容的）。

因此，很明顯，二元一次方程組的解的數量範圍從 0 到 ∞。

解二元一次方程組：交叉相乘法

這是一種解二元一次方程組的代數方法

讓我們討論這種方法如何適用於任何二元一次方程組。二元一次方程為

a₁x + b₁y + c₁ = 0 → (1)

a₂x + b₂y + c₂ = 0 → (2)

為了從上述兩個方程確定 x 和 y 的值，我們必須遵循以下步驟：

**步驟 1** - 用 b₂ 乘方程 (1)，用 b₁ 乘方程 (2)，我們將得到

b₂a₁x + b₂b₁y + b₂c₁ = 0 → (3)

b₁a₂x + b₁b₂y + b₁c₂ = 0 → (4)

**步驟 2** - 透過從 (3) 減去 (4)，我們得到：

(b₂a₁ - b₁a₂)x + (b₂b₁ - b₁b₂)y + (b₂c₁ - b₁c₂) = 0

(b₂a₁ - b₁a₂)x = (b₁c₂ - b₂c₁)

所以，x = (b₁c₂ - b₂c₁)/(a₁b₂ - a₂b₁) 且 b₂a₁ - b₁a₂ ≠ 0 → (5)

**步驟 3** - 將方程 (5) 中 x 的值代入 (1) 或 (2)，得到

y = (c₁a₂ - c₂a₁)/(a₁b₂ - a₂b₁) → (6)

我們可以用以下方式寫出由方程 (5) 和 (6) 給出的解：

x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁) → (7)

方程 (7) 可以用下圖表示，這清楚地表明瞭為什麼這種方法被稱為“交叉相乘法”。

其他方法

• **代入法** - 我們透過用另一個變數來表示一個變數的值來**代入**求解給定的二元一次方程組。這種方法稱為代入法。

• **消元法** - 我們首先**消去**一個變數以得到一個一元一次方程

• **影像法** - 二元一次方程組的影像由兩條直線表示。當兩條直線相交時，它給出唯一解；當它們重合時，它給出無限多個解；如果它們平行，則沒有解。

• **矩陣法** - 將二元一次方程組寫成矩陣形式，併為 2×2 方程組求出三個行列式 D、Dx、Dy。這三個行列式分別是係數行列式、x 行列式和 y 行列式。現在我們有了行列式，必須用這個公式求 x 和 y 的值：x = Dx/D，y = Dy/D

例題

1) 求出給定方程中 x 和 y 的值

4x + 3y - 6 = 0

x + 3y - 3 = 0

答案：

x/(-9 - (-18)) = y/(-6 - (-12)) = 1/(12 - 3)

x/9 = y/6 = 1/9

取 x/9 = 1/9 和 y/6 = 1/9

x = 1 和 y = 2/3

2) 三輛腳踏車和兩輛腳踏車共 1650 元。五輛腳踏車和三輛腳踏車共 2650 元。求兩輛腳踏車和兩輛腳踏車的成本？

答案：設一輛腳踏車的成本 = x 元

一輛腳踏車的成本 = y 元

根據題意 3x + 2y = 1650 →(1)

5x + 3y = 2650 →(2)

用交叉相乘法解 (1) 和 (2)，我們得到

x/(2×2650 - 3×1650) = y/(1650×5 - 2650×3) = 1/(3×3 - 5×2)

x/(5300 - 4950) = y/(8250 - 7950) = 1/(9 - 10)

x/350 = y/300 = -1

x = -350 和 y = -300

一輛腳踏車的成本 = 350 元

一輛腳踏車的成本 = 300 元

兩輛腳踏車和兩輛腳踏車的成本

= 2 × 350 + 2 × 300

= 700 + 600

= 1300 元

結論

在本教程中，我們討論了二元一次方程組。並學習了求解二元一次方程組的各種方法。其中交叉相乘法是最容易使用和求解的方法。

常見問題

1. 什麼是一次方程？

形如 y = mx + b 的方程。

2. 你如何理解二元一次方程組這個術語？

具有相同變數 x 和 y 的兩個一次方程稱為二元一次方程組。

3. 哪個二元一次方程組將被稱為不相容的？

沒有解的二元一次方程組稱為不相容的。

4. 我們使用什麼方法來解二元一次方程組？

交叉相乘法、代入法、矩陣法、消元法和影像法。