連續性方程

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簡介

Praveen 和 Shubham 是好朋友。Praveen 買了一輛摩托車，和 Shubham 一起出去兜風。他們來到加油站，讓加油員給摩托車加 10 升汽油。加油員開始加油，這時 Shubham 問 Praveen：“你怎麼知道我們的摩托車油箱裡會得到相同數量的汽油？”然後 Praveen 回答說：“你瞭解連續性方程嗎？Shubham 說不知道，你能解釋一下嗎？”然後 Praveen 說，連續性方程告訴我們流體中質量守恆定律。這意味著從加油站儲油罐中流出的流體量與進入摩托車油箱的流體量相同。之後他們去了公園，園丁正在用管道給植物澆水。Shubham 又問為什麼園丁用手壓著並擴充套件管道的口。Praveen 回答說這也與連續性方程的概念有關。當園丁壓著管道的口時，他正在減小管道的橫截面積，這會導致流經管道的水的速度增加，而當他再次擴充套件它時，流出的水的速度會降低。透過這樣做，他只需站在一個地方就能澆灌較遠和較近的植物。Praveen 繼續說，水的速度與管道的面積成反比。然後 Shubham 要求 Praveen 在他們回家時詳細解釋連續性方程。

連續性方程的推導

連續性方程告訴我們，對於不可壓縮流體，橫截面積和速度的乘積始終為常數。但是這個說法是從哪裡來的，在什麼條件下？因此，連續性方程對理想流體有效。這意味著流體應該是不可壓縮的、無粘性的，並且流動應該是穩定的。

在進入核心推導之前，讓我們討論一下這些術語 -

• 不可壓縮流體：在這種情況下，我們必須假設如果我們壓縮流體，並且其體積變化小於原始體積的 5%，則該流體將被視為不可壓縮的。

• 無粘性流體：所有流體在它們之間都有多層。當流體流動時，這些層也會相互流動，併產生摩擦，這稱為粘度。因此，這裡我們必須假設所考慮的流體的粘度為零。

• 穩定流動：穩定流動意味著流體的特性不會隨時間在特定點發生變化。在連續性方程的推導中，流體的特性是指流體的速度。

讓我們開始推導不可壓縮、無粘性和穩定流動的流體的連續性方程。

圖片即將推出

圖 1：管道

讓我們以圖 1 所示的管道為例。該管道有兩個端部，其橫截面積分別為 $\mathrm{A_1}$ 和 $\mathrm{A_2}$，如圖 1 所示。讓我們假設除了這兩個開口外，管道沒有其他開口或孔。讓流體以速度 $\mathrm{V_1}$ 從具有橫截面積 $\mathrm{A_1}$ 的端部進入。讓我們假設在時間 ‘t’ 後，流體的那一部分行進的距離將為 𝚫x1。所以我們可以寫 -

$\mathrm{\Rightarrow\:\Delta X 1\:=\:V1.t\:\:…..(1)}$

因此，時間 ‘t’ 後管道入口處流體的體積 $\mathrm{(V_f)}$ 將為 -

$\mathrm{\Rightarrow\:V_f\:=\:A1.\Delta X 1}$

使用 (1)，我們得到 -

$\mathrm{\Rightarrow\:V_f\:=\:A_1.V_1 t\:\:….. (2)}$

眾所周知，密度可以寫成 -

$\mathrm{\rho\:=\:m/(Vf)\:\:\:…… (3)}$

其中 m = 質量，$\mathrm{\rho}$ = 流體的密度

因此，直到時間 ‘t’ 管道入口處水的質量將為 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_1\:=\:\rho_1.A_1.V_1.t\:\:\:…… (4)}$

現在使用 (4)，我們可以將質量流量 (ṁ) 寫成 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_1/t\:=\:m_1\:=\:\rho_1.A_1.V_1\:\:\:…… (5)}$

現在，類似地，我們可以為出口端寫出質量流量 (ṁ) 的值 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_2\:=\:\rho_2.A_2.V_2\:\:\:…… (6)}$

現在我們知道質量根據質量守恆定律保持守恆。因此，進入管道的流體質量將等於流出管道的流體質量。類似地，在相同的時間間隔內，質量流量也將保持相同。所以，

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1\:=\:m_2}$$

使用方程 (5) 和 (6)，我們可以說 -

$\mathrm{\Rightarrow\:\rho_1.A_1.V_1\:=\:\rho_2.A_2.V_2\:\:\:……(7)}$

所以我們可以說 -

$\mathrm{\rho}$.A.V = 常數

此方程適用於所有型別的流體。

現在，由於我們假設流體是不可壓縮的，因此密度在入口和出口處保持相同。所以，

$\mathrm{\Rightarrow\:\rho_1\:=\:\rho_2}$

因此，從方程 (7)，我們可以寫出 -

$\mathrm{A_1.V_1 \:= \:A_2.V_2 }$

所以，我們可以寫出 -

A.V = 常數

這是不可壓縮流體的連續性方程。

連續性方程的應用

這個連續性方程在空氣動力學和流體力學的各個領域都有用。它是推導伯努利定理最重要的方程之一。它將有助於各種測量裝置（如文丘裡流量計、孔板流量計等）的計算。

常見問題

Q1. 推導連續性方程所需的條件是什麼？

回答 - 推導連續性方程的條件是流體 -

• 應該是不可壓縮的

• 應該是無粘性的

• 應該具有穩定流動

Q2. 不可壓縮流體是什麼意思？

回答 - 不可壓縮流體是指在壓縮後密度變化可以忽略不計的流體。最大允許值為體積變化不應大於原始體積的 5%。

Q3. 穩定流動是什麼意思？

回答 - 穩定流動意味著流體的特性在特定位置不會隨時間變化。

Q4. 請說明可壓縮和不可壓縮流體的連續性方程公式。

回答 - 對於可壓縮流體，連續性方程可以寫成 -

$\mathrm{\rho}$.A.V = 常數

對於不可壓縮流體，連續性方程可以寫成 -

A.V = 常數

Q5. 連續性方程的應用有哪些？

回答 - 連續性方程可用於推導伯努利定理。它用於藉助文丘裡流量計、孔板流量計、流量計等裝置計算許多物理量。它用於空氣動力學和流體力學。