連續性和不連續性

---

簡介

連續性和不連續性可以定義為統計學中用於預測或估計值的函式的屬性。數學函式可以分為兩種型別 - 連續變數和不連續變數。連續性是可以在圖形上顯示而不會斷裂的函式的屬性。另一方面，不連續性是函式在圖形上具有不連線點的屬性。在本教程中，我們將瞭解連續性和不連續性的概念以及示例。

連續性

在自然界中，連續性隨處可見。例如，河流的流動、時間等，都是自然界中連續性的一些現例項子。在統計學中，我們也有具有數值的函式的連續性。

連續函式

在圖形上，連續函式對應於連續圖形。在代數上，只有當函式 f(a) 滿足以下條件時，才能在點 a=x 處稱為連續的

• f(x) 存在（這意味著 f(x) 的值是有限的。）

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow x}\:f(a)}$ 存在（即極限的兩側相等，並且它們都是有限的）

如果上述三個條件在區間中的每個點都滿足，則稱函式 f(a) 為連續函式。

多項式

多項式一詞由兩個詞“poly”和“nominal”組成。“poly”表示多，“nominal”表示項。它是一個由兩個或多個具有不同冪和相同變數的代數項組成的表示式，這些項由數學運算子連線在一起。

例如 $\mathrm{5x^{2}\:+\:2x\:-\:3}$

正弦和餘弦函式

$$\mathrm{b\:=\:\sin\:a}$$

• $\mathrm{b\:=\:\sin\:a}$ 的根由 π(π) 的倍數找到

• 在 $\mathrm{\sin\:a\:=\:0}$ 處，圖形穿過 X 軸。

• 正弦波的週期為 2π

$$\mathrm{b\:=\:\cos\:a}$$

• $\mathrm{\sin\:(a\:+\:\pi\:/\:2)\:=\:\cos\:a}$

• 如果將 sin a 圖形向左移動 π/2 個單位，則得到 $\mathrm{b\:=\:\cos\:a,a\cos}$ 函式圖形。

指數函式和對數函式

指數函式可以寫成 $\mathrm{b\:=\:f(a)\:=\:x^{a}}$，其中“a”表示變數，“x”表示常數，稱為底數 (𝑥 > 1)。數字“e”表示自然指數函式，其值為 2.71828。指數函式可以表示為 - $\mathrm{y\:=\:e^{x}}$

對數函式是指數函式的反函式。對數函式可以表示如下 -

假設 y > 1 是一個實數，使得 a 以 y 為底的對數為 $\mathrm{ya\:=\:x}$。x 以 y 為底的對數 $\mathrm{y\:\colon\:\log\:_{y}x}$。

因此 $\mathrm{\log\:_{y}x\:=\:a,if\:y^{a}\:=\:x}$

不連續性

如果一個函式不能滿足成為連續函式的條件，那麼該函式就是一個不連續函式。不連續的型別由函式無法滿足的條件決定。

不連續函式及其不連續點的例子

在以下任何情況下，函式“f”在點𝑎 = 𝑥 處將是不連續的 -

• f(x) 未定義。

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow a^{+}}f(a)\:and\:\lim_{a \rightarrow a^{-}}f(a)}$ 存在但不相等。

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow a^{+}}f(a)\:and\:\lim_{a \rightarrow a^{-}}f(a)}$ 存在。兩者彼此相等。兩者都不等於 f(a)。

最大整數函式和最小整數函式

最大整數函式使用以下解釋 -

• [a] = 小於等於“a”的最大整數

• [a] = 不大於“a”的最大整數

• [a] = “a”的整數部分

“[a]”的值可以由下式給出

$$\mathrm{f(a)\:=\:[a]\:=\:n;if\:n\:\leq\:a\leq\:n\:+\:1,n\:\varepsilon\:Z}$$

我們將最小整數函式解釋為 -

• [a] = 大於或等於 a 的最小整數

• [a] = 不小於或等於 a 的最小整數

f(a) 的值是一個整數 (n)，使得 -

$$\mathrm{f(a)\:=\:n;if\:n\:-\:1\:<a\leq\:n,n\:\varepsilon\:Z}$$

三角函式（正弦和餘弦除外）

有理函式

有理函式可以定義為 $\mathrm{R(a)\:=\:\frac{P(a)}{Q(a)}}$

其中 P(a) 和 Q(a) 是多項式 $\mathrm{Q(a)\neq\:0}$

符號函式

符號函式可以由以下定義

$$\mathrm{f(x)\:=\:1,\:if\:x>0}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:1,\:if\:x\:=\:0}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:-1,\:if\:x>0}$$

其中 x 是一個實數，範圍為 {−1, 0, 1}

解題示例

1)對於函式 f(a) =

$\mathrm{5\:-\:2a\:\:\:\:\:for\:a<1}$

$\mathrm{3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:for\:a\:=\:1}$

$\mathrm{a\:+\:2\:\:\:\:\:\:for\:a>1}$

證明該函式對於所有 a 的值都是連續的。

答案 - 由於該函式是線性的，因此該函式在圖形上是一條直線，這意味著該函式對於所有 a≠ 1 都是連續的。現在對於 a = 1，我們必須檢查條件。

左側極限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(5\:-\:2a)}$

$\mathrm{=\:5\:-\:2\times\:1}$

$\mathrm{=\:3}$

右側極限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a\:+\:2)}$

$\mathrm{=\:1\:+\:2}$

$\mathrm{=\:3}$

在值 a=1 處

𝑓(1) = 3

由於所有條件都滿足，因此我們可以說給定函式對於所有 a 都是連續的

2)對於函式

$\mathrm{f(a)\:=\:a^{2}\:for\:a<1,}$

$\mathrm{f(a)\:=\:0\:for\:a\:=\:1,}$

$\mathrm{f(a)\:=\:2\:-\:(a\:-\:1)^{2}\:for\:a>1,}$ 找到不連續性。

答案 - 左側極限 $\mathrm{\lim_{a \rightarrow 1^{-}}f(a)\:=\:1}$ 和右側極限 $\mathrm{\lim_{a \rightarrow 1^{+}}f(a)\:=\:2}$ 我們可以得出結論，函式的左側極限≠右側極限在𝑎 = 1 處有不連續性

$\mathrm{f(a)\:=\:a^{2}\:for\:a<1,\:f(a)\:=\:0\:for\:a\:=\:1\:,f(a)\:=\:2\:-\:(a\:-\:1)^{2}\:for\:a>1\:is\:a\:=\:1}$ 的不連續點

結論

在本教程中，我們學習了連續性和不連續性，以及一些連續的函式和一些不連續的函式，我們還學習瞭如何檢查一個函式是否連續。連續函式對應於連續圖形。連續性是可以在圖形上顯示而不會斷裂的函式的屬性。另一方面，不連續性是函式在圖形上具有不連線點的屬性。“poly”表示多，“nominal”表示項。

常見問題解答

1. 我們周圍連續性的現例項子有哪些？

連續性的一些現例項子包括 -

我們大氣中的氣流是連續的，因為它從未停止。我們身體的毛髮生長是一個連續的過程。

2. 性別可以是連續變數嗎？

否，性別不能被認為是連續變數，因為它是固定的。它是一個離散變數。

3. 定義符號函式的範圍？

符號函式的範圍為 {−1, 0, 1}

4. 一次多項式的標準形式是什麼？

一次多項式的標準形式為 $\mathrm{ax\:+\:b}$。

5. 什麼是零多項式？

零多項式是指係數為零的多項式。