愛因斯坦場方程

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引言

愛因斯坦場方程（“EFE”）的重要性極其重大，需要對其中每一個元素都有透徹的理解。愛因斯坦方程是愛因斯坦場方程的另一個名稱。這個方程組由十個方程組成，它源於阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論。

本教程旨在呈現EFE簡潔、清晰、簡單的邏輯，同時也力求全面，以便任何普通數學家都能透過閱讀本教程來理解EFE。在本教程中，我們將介紹愛因斯坦場方程、度規張量、愛因斯坦張量、愛因斯坦張量的性質、宇宙常數以及愛因斯坦場方程的實際應用。

愛因斯坦場方程

根據相對論，愛因斯坦場方程對應於時空幾何點。它由其中物質的分佈決定。愛因斯坦於1915年提出了這個方程。它採用張量方程的形式，將時空曲率與能量、動量和應力聯絡起來。這個張量方程是十個不同方程組合的結果。它將引力描述為由質量和能量引起的時空曲率的結果。它由特定時間和空間點上的時間和空間曲率決定。在那一點上，它也與動量和能量有關。麥克斯韋方程將電磁場與電荷和電流的分佈聯絡起來，就像愛因斯坦場方程將質量-能量、動量和應力與時空幾何聯絡起來一樣。這些方程的解是度規張量的分量，它指定了時空幾何。然後可以使用幾何方程來計算這些粒子的路徑。

由於度規張量和愛因斯坦張量之間的關係，愛因斯坦場方程可以寫成一系列非偏微分方程。

Tokamac，單面時空曲率，CC BY-SA 4.0

根據愛因斯坦場方程，二維橡膠片模型的彎曲時空。正質量（藍色）和負質量（紅色）共享四維超曲面的同一“側”。

愛因斯坦場方程為

$$\mathrm{G_{\mu v}=8\pi GT_{\mu V}}$$

G = 牛頓常數

$\mathrm{G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}}$ 是愛因斯坦張量，它是時空曲率的度量。

$\mathrm{T_{\mu v}}$ 是能量-動量張量。

$\mathrm{g_{\mu v}}$ 是度規張量。

$\mathrm{R_{\mu v}}$ 裡奇張量

度規張量

在彎曲時空的情況下，度規張量實際上是克羅內克爾δ的替代。

在狹義相對論中，不變數為：

$$\mathrm{d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=n_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

相對性原理指出，總存在一個降落座標系$\mathrm{\xi ^{\alpha }}$，其中$\mathrm{\frac{d\xi ^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}$消失。在另一個座標系$\mathrm{x^{\mu }}$中，不變數變為

$$\mathrm{d\tau ^{2}=n_{\alpha \beta }\frac{\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}dx^{\mu }\frac{\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{v }}dx^{v }=g_{\mu v}dx^{\mu }dx^{v}}$$

其中$\mathrm{g_{\mu v}=\frac{\partial \xi ^{\alpha }\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\mu }\partial x^{v}}\eta _{\alpha \beta }}$是度規張量。

愛因斯坦張量

愛因斯坦張量沒有散度，是對稱的，並且它們與度規張量gab及其一階和二階導數是伴隨的。在四維空間中，度規張量和愛因斯坦張量是唯一具有這些性質的張量，它們的數量關鍵取決於空間的維數。

愛因斯坦張量是

$$\mathrm{G_{\mu v}=R_{\mu v}-\frac{1}{2}Rg_{\mu v}}$$

愛因斯坦張量的性質

• 當時空是平坦的時，它消失。

• 它由黎曼張量和度規張量組成。

• 這種型別的張量與使用黎曼張量和需求度量構造的其他張量不同。

• 它是對稱的並且在黎曼張量中是線性的。

宇宙常數

您可能已經注意到，可以向愛因斯坦場方程新增一個與$\mathrm{T_{\mu v}}$的區域性守恆一致的項。對於某個常數$\mathrm{\Lambda}$，這是一個$\mathrm{\Lambda g_{\mu v}}$形式的項。因為度規的協變導數為零，所以將其新增到左側不會影響區域性守恆。該項被稱為宇宙常數。

愛因斯坦引入$\mathrm{\Lambda}$的最初動機是意識到他的方程中沒有解代表靜態宇宙學（在大的尺度上不隨時間變化的宇宙）且具有非零物質含量。事實上，當時人們認為宇宙是靜態的。當宇宙常數精確調整時，可以找到靜態解，但它對小的擾動是不穩定的。

幾年後，哈勃證明了宇宙正在膨脹，因此不是靜態的（如果宇宙常數不包含在內，愛因斯坦方程會預測這一點；愛因斯坦稱之為“他一生中最大的錯誤”）。由於這一發現，愛因斯坦否定了他的建議。

愛因斯坦場方程的實際應用

• 由於衛星在地球上空的高度，您手機中的GPS依賴於相對論時間校正。（它們也需要速度校正，但這些可以從狹義相對論推匯出來，而無需求助於場方程。）

• 計算水星的相對論進動。這個後驗預測是廣義相對論迅速被接受的關鍵因素。

• 另一個例子是GPS建模以及計算LAGEOS和引力探測器B的軌道。因為極其巨大的物體周圍的引力很簡單，所以完整的廣義相對論公式非常有效（並且是必要的），適用於黑洞和中子星。

結論

根據相對論，愛因斯坦場方程對應於時空幾何點。它由其中物質的分佈決定。愛因斯坦於1915年提出了這個方程。它採用張量方程的形式，將時空曲率與能量、動量和應力聯絡起來。這個方程組由十個不同方程組成，它源於阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論。在本教程中，我們介紹了愛因斯坦場方程、度規張量、愛因斯坦張量、愛因斯坦張量的性質、宇宙常數以及愛因斯坦場方程的實際應用。

常見問題

Q1. 愛因斯坦場方程關聯了哪些兩個方面？

A1. 愛因斯坦場方程 (EFE) 在廣義相對論中關聯了時空的幾何形狀及其內部物質的分佈。

Q2. 為什麼愛因斯坦方程是非線性的？

A2. 愛因斯坦場方程是非線性的，因為質量會影響它們存在的空間的幾何形狀。這就是質量彎曲時空幾何形狀的根本見解，而時空幾何形狀告訴質量如何運動。

Q3. 愛因斯坦場方程是否為微分方程？

A3. 愛因斯坦的廣義相對論場方程是十個具有四個獨立變數的非線性偏微分方程。儘管它被重新表述為自耦合積分方程，但這個複雜的系統通常無法積分。

Q4. 愛因斯坦是如何得到他的場方程的？

A4. 愛因斯坦採取了兩個啟發式和物理意義上的步驟。第一步是從幾何上獲得真空場方程。接下來，從存在物質的場方程推匯出沒有物質的場方程。

Q5. 愛因斯坦常數究竟是什麼？

A5. 它是阿爾伯特·愛因斯坦暫時新增到他廣義相對論方程中的一個項的常數係數，通常用希臘大寫字母 lambda 表示。該項通常被稱為愛因斯坦的宇宙常數或愛因斯坦常數。

Q6. 度規是張量嗎？

A6. 度規張量是張量場的例子。每當座標系發生變化時，度規張量分量都會協變地轉換為對稱矩陣。度規張量是協變對稱張量。