作圖：三角形

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引言

• 三角形具有三條邊和三個角，這兩者是構成三角形的重要引數。

• 使用量角器（測量角度）、圓規（繪製給定測量邊長的弧）和直尺（測量邊長）等幾何工具來完成。

• 三角形有多種型別，通過了解一些給定的引數集，可以以不同的方式構造它們。在本教程中，讓我們看看三種情況。

三角形的作圖

一般來說，當給出以下性質（如 SSS、SAS、ASA 和 RHS（僅適用於直角三角形））時，三角形的作圖很容易。

• SSS → 已知三角形的三條邊長。

• SAS → 已知兩條邊長及其夾角。

• ASA → 已知兩個角及其夾邊長。

• RHS → 在直角三角形中，已知直角、斜邊和一條邊長。

已知底邊、另兩邊之和以及底邊上一個角的情況下作圖

情況 - 考慮一個三角形，已知其底邊、另兩邊的和以及底邊上的一個角。

在三角形 PQR 中，已知底邊長 QR，已知角 Q，並且 PQ + PR 也已知。

• 使用直尺繪製底邊 QR，並在頂點 Q 處使用圓規或量角器（如果無法使用圓規）和直尺構造一個角 SQR，其大小等於角 Q。

• 在 Q 點使用圓規，在射線 QS 上擷取長度為 PQ + PR 的弧，得到一點 T，然後連線 T 和 R。

• 現在測量角 QTR，然後將 R 處的角分成兩部分，使得與 TR 的角等於 QTR，將 R 處的角平分的線應該與射線 QS 相交於 P 點，則 PQR 為所需的三角形。

已知底邊、另兩邊之差以及底邊上一個角的情況下作圖

情況 - 考慮一個三角形，已知其底邊、另兩邊的差以及底邊上的一個角。

在三角形 PQR 中，已知底邊長 QR，已知角 Q，並且已知 PQ - PR 或 PR - PQ，現在要構造三角形 PQR，需要遵循以下作圖步驟：

可以是 PQ < PR 或 PQ > PR

如果 PQ < PR，則作圖步驟為：

• 使用直尺繪製底邊 QR，並在頂點 Q 處使用圓規或量角器（如果無法使用圓規）和直尺構造一個角 SQR，其大小等於角 Q。

• 在 Q 點使用圓規，在射線 QS 上擷取長度為 PQ - PR 的弧，得到一點 T，然後連線 T 和 R。

• 作 TR 的垂直平分線，它應該與 QS 相交於 P 點，然後連線 P 和 Q 以形成所需的三角形 PQR。

如果 PQ < PR，則作圖步驟為：

• 使用直尺繪製底邊 QR，並在頂點 Q 處使用圓規或量角器（如果無法使用圓規）和直尺構造一個角 SQR，其大小等於角 Q。

• 在 Q 點使用圓規，在射線 QS 的另一側擷取長度為 PR - PQ 的弧，得到一點 T，然後連線 T 和 R。

• 作 TR 的垂直平分線，它應該與 QS 相交於 P 點，然後連線 P 和 Q 以形成所需的三角形 PQR。

已知周長和兩個角的情況下作圖

情況 - 考慮一個三角形，已知其周長以及兩個角。

在三角形 PQR 中，已知其周長 (PQ + QR + PR) 和角 Q 和 R，現在要構造三角形 PQR，需要遵循以下作圖步驟：

• 畫一條線段 AB，使得 AB = PQ + QR + PR，在 A 和 B 處作角，使得∠XAB = ∠Q 和∠YBA = ∠R，其中 XA 和 YB 是兩條射線。

• 作∠XAB 和∠YBA 的角平分線，並在 P 點相交。

• 現在，作 PX 和 PY 的垂直平分線，它們分別與 AB 相交於 Q 和 R。連線 PQ 和 PR 以形成三角形 PQR。

解題示例

作一個三角形，其底邊為 5cm，另兩邊的和為 10，底邊上的一個角為 60 度？

• 設三角形的頂點為 P、Q、R。繪製底邊 QR = 5cm

• 在頂點 Q 處構造一個角 SQR = 60 度

• 在 Q 點使用圓規，在射線 QS 上擷取長度為 10cm 的弧，得到一點 T，然後連線 T 和 R。

• 現在測量角 QTR，然後將 R 處的角分成兩部分，使得與 TR 的角等於 QTR，將 R 處的角平分的線應該與射線 QS 相交於 P 點。

• PQR 是所需的三角形。

結論

在本教程中，我們學習了：

• 已知底邊、另兩邊之和以及底邊上一個角的情況下作圖。

• 已知底邊、另兩邊之差以及底邊上一個角的情況下作圖。

• 已知周長和兩個角的情況下作圖。

常見問題

1. 三角形的周長是多少？

周長等於三角形所有邊的和。

2. 作圖三角形需要什麼？

圓規、直尺和量角器。

3. 三角形的型別有哪些？

三角形有六種型別：等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。

4. 如何根據給定的三條邊長作圖三角形？

這是 SSS 性質。畫一條線段 PQ，其長度等於三角形最長邊的長度。現在，使用直尺測量第二條邊的長度，並使用圓規從 P 點畫一個弧，從 Q 點也這樣做，它應該在 R 點與之前的弧相交。現在連線 P、R 和 Q、R 以形成三角形 PQR。

5. 量角器有什麼用？

它用於測量角度。