同心圓

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介紹

同心圓、等圓和相切圓是圓的幾種型別。圓是幾何學中最基本的形狀之一。它是由與中心點等距的點形成的封閉二維形狀。“圓”這個詞來源於希臘語Kirkos，意思是“環”或“圈”。圓將平面分成內部（圓內）和外部（圓外）。圓的度量單位是其半徑。等圓、同心圓、相交圓和相切圓是不同型別的圓。在本教程中，我們將學習同心圓。如果兩個或多個圓具有相同的圓心和不同的半徑，則稱這些圓為同心圓。讓我們透過已解決的示例來學習同心圓。

圓

• 圓是幾何學中的一種二維封閉形狀。

• 它可以定義為一組與平面中固定點等距的點。

• 它是一個對稱形狀。

• 等圓、同心圓、相切圓、半圓和相交圓是不同型別的圓。

• 完整圓的長度稱為圓的周長。它由公式2𝜋𝑟計算。

關於圓的基本術語

圓心

用於定義圓的固定點稱為圓心。在上圖中，點O是圓心。

半徑

連線圓心和圓上任意一點的線段稱為半徑。

弦

連線圓上任意兩點的線段稱為弦。

直徑

透過圓心的弦稱為圓的直徑。

切線

一條在一點與圓相切的直線。它位於圓外。

割線

一條與圓周上兩點相交的直線稱為割線。

弧

圓上任意兩點之間的曲線部分稱為弧。

弓形

弦與其對應的弧之間的一部分稱為弓形。

扇形

由兩條半徑及其對應的弧圍成的面積稱為圓的扇形。

圓的一些性質

• 如果兩個圓具有相同的半徑，則稱它們為等圓。

• 圓的直徑是圓的最長弦。

• 具有不同半徑的圓是相似的。

• 半徑為1的圓稱為單位圓。

• 從圓外一點引出的切線是全等的。

• 圓可以內接於正方形、三角形和箏形中。

圓的一些重要公式

引數	公式
圓的直徑	$\mathrm{D\:=\:2r,\:其中r為半徑}$
圓的面積	$\mathrm{A\:=\:\pi\:r^{2}\:或\:\frac{\pi}{4}\times\:d^{2}}$
周長	$\mathrm{C\:=\:2\pi\:r\:或\:\pi\:d}$
扇形面積	$\mathrm{A\:=\:\frac{\theta}{360}\times\:2\pi\:r}$
弧長	$\mathrm{l\:=\:\frac{\theta}{360}\times\:2\pi\:r}$
弓形面積	$\mathrm{A\:=\:r^{2}[\frac{\pi\:\theta}{360}\:-\:\frac{\sin\:\theta}{360}]}$

（注：此處𝜃表示弧的度數。）

同心圓

在幾何學中，如果物體具有共同的中心點，則稱它們為同心。如果兩個或多個圓具有共同的中心點和不同的半徑，則稱為同心圓。

下圖顯示了以C為中心的同心圓。

在上圖中，由兩個同心圓形成的扁平環形區域稱為環形。

“環形”一詞來源於拉丁語annulus，意思是環。

同心圓的現實生活例子有羊毛輪、靶心和飛鏢盤。

環形面積

上圖顯示了兩個同心圓。陰影部分代表環形。外圓的半徑為R，內圓的半徑為r。環形的面積可以透過求兩個圓的面積差來計算。

圓的面積用公式$\mathrm{A\:=\:\pi\:r^{2}}$計算

$$\mathrm{外圓面積\:=\:\pi\:R^{2}}$$

$$\mathrm{內圓面積\:=\:\pi\:r^{2}}$$

$$\mathrm{環形面積\:=\:兩個圓的面積差\:=\:\pi\:R^{2}\:-\:\pi\:r^{2}\:=\:\pi\:(R^{2}\:-\:r^{2})}$$

$$\mathrm{環形面積\:=\:\pi\:(R^{2}\:-\:r^{2})}$$

已解決的示例

1) 如果兩個圓的直徑分別為14釐米和36釐米，則求同心圓的環形面積。

已知 - 內圓直徑 = 14釐米

∴ 內圓半徑 (r) = 7釐米

外圓直徑 = 36釐米

∴ 外圓半徑 (R) = 18釐米

解 -

$$\mathrm{環形面積\:=\:\pi\:(R^{2}\:-\:r^{2})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:(18^{2}\:-\:7^{2})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:324\:-\:\frac{22}{7}\times\:49}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:275}$$

$$\mathrm{=\:864.28\:平方釐米}$$

2) 如果圓的周長為66釐米，則求圓的面積。

答案。

已知 - 圓的周長 = 66釐米

解 -

$$\mathrm{圓的周長\:=\:2\pi\:r}$$

$$\mathrm{66\:=\:2\times\:\frac{22}{7}\times\:r}$$

$$\mathrm{r\:=\:\frac{66\times\:7}{44}}$$

$$\mathrm{r\:=\:10.5\:釐米}$$

$\mathrm{圓的面積\:=\:\pi\:r^{2}}$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:10.5\:\times\:10.5}$$

$$\mathrm{=\:346.5\:平方釐米}$$

3) 圓形花園的直徑為46米。花園周圍有一條4.5米寬的路。求路的面積。

答案：圓形花園直徑 = 46米

∴ 內圓半徑(r) $\mathrm{=\:\frac{46}{2}\:=\:23\:米}$

道路寬度 = 4.5米

∴ 外圓半徑 = 內圓半徑 + 寬度

$$\mathrm{=\:23\:+\:4.5}$$

$$\mathrm{=\:27.5米}$$

圓形花園和道路構成一個環形，因此道路的面積用公式計算為：

$$\mathrm{道路面積\:=\:\pi\:(R^{2}\:-\:r^{2})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:({27.5}^{2}\:-\:{23}^{2})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:(756.25\:-\:529)}$$

$$\mathrm{=\:\frac{22}{7}\times\:(227.25)}$$

$$\mathrm{=\:714.21\:平方米}$$

因此，道路面積為714.21 𝑚²

結論

• 本教程簡要介紹了同心圓的主題，並附帶已解決的示例。

• 在本教程中，我們討論了圓、圓的重要公式、同心圓以及同心圓環形的面積。

• 圓是幾何學中最基本的二維形狀之一，它是由與中心等距的點形成的。

• 如果兩個圓具有共同的中心點但半徑不同，則稱它們為同心圓。

• 靶心、船輪和飛鏢盤是同心圓的現實生活例子。

常見問題

1. 判斷下列說法是正確還是錯誤：圓有無限條弦。

正確。

2. 同心圓的方程是什麼？

同心圓的方程是$\mathrm{(x\:-\:h)^{2}\:+\:(y\:-\:k)^{2}\:=\:r^{2}}$

3. 弦的性質是什麼？

• 從圓心到其弦所作的垂線平分弦。

• 連線圓心和絃中點的線段垂直於弦。

4. 什麼是三個同心圓？

內圓、外圓和擴充套件圓稱為三個同心圓。

5. 透過兩個給定點可以畫多少個圓？

只能畫一個圓透過兩個給定點。