計算機圖形學曲線

在計算機圖形學中，我們經常需要在螢幕上繪製不同型別的物件。物件並非總是平坦的，我們需要多次繪製曲線來繪製物件。

曲線的型別

曲線是無限大的點集。每個點都有兩個鄰居，除了端點。曲線可以大致分為三類：**顯式曲線、隱式曲線**和**引數曲線**。

隱式曲線表示透過使用可以測試點是否在曲線上的過程來定義曲線上的點集。通常，隱式曲線由以下形式的隱函式定義：

f(x, y) = 0

它可以表示多值曲線（對於一個 x 值有多個 y 值）。一個常見的例子是圓，其隱式表示為

x² + y² - R² = 0

數學函式 y = f(x) 可以繪製成曲線。這樣的函式是曲線的顯式表示。顯式表示不通用，因為它不能表示垂直線，並且也是單值的。對於每個 x 值，函式通常只計算一個 y 值。

具有引數形式的曲線稱為引數曲線。顯式和隱式曲線表示僅在已知函式時才能使用。在實踐中，使用引數曲線。二維引數曲線具有以下形式：

P(t) = f(t), g(t) 或 P(t) = x(t), y(t)

函式 f 和 g 成為曲線上的任何點的 (x, y) 座標，當引數 t 在某個區間 [a, b]（通常為 [0, 1]）內變化時獲得這些點。

貝塞爾曲線是由法國工程師**皮埃爾·貝塞爾**發現的。這些曲線可以在其他點的控制下生成。使用控制點近似切線來生成曲線。貝塞爾曲線可以用數學方式表示為：

$$\sum_{k=0}^{n} P_{i}{B_{i}^{n}}(t)$$

其中 $p_{i}$ 是點集，${B_{i}^{n}}(t)$ 表示伯恩斯坦多項式，由以下公式給出：

$${B_{i}^{n}}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n-i}t^{i}$$

其中**n**是多項式的次數，**i**是索引，**t**是變數。

最簡單的貝塞爾曲線是從點 $P_{0}$ 到 $P_{1}$ 的直線。二次貝塞爾曲線由三個控制點確定。三次貝塞爾曲線由四個控制點確定。

貝塞爾曲線具有以下性質：

由伯恩斯坦基函式生成的貝塞爾曲線靈活性有限。

B 樣條基包含伯恩斯坦基作為特例。B 樣條基是非全域性的。

B 樣條曲線定義為控制點 Pi 和 B 樣條基函式 $N_{i,}$ k (t) 的線性組合，由下式給出

$C(t) = \sum_{i=0}^{n}P_{i}N_{i,k}(t),$ $n\geq k-1,$ $t\: \epsilon \: [ tk-1,tn+1 ]$

其中，

$${t_{i}:i = 0, ... n + K}$$

N_i, k 函式描述如下：

$$N_{i,1}(t) = \left\{\begin{matrix} 1,& if \:u \: \epsilon \: [t_{i,}t_{i+1}) \\ 0,& Otherwise \end{matrix}\right.$$

如果 k > 1，則

$$N_{i,k}(t) = \frac{t-t_{i}}{t_{i+k-1}} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)$$

並且

$$t \: \epsilon \: [t_{k-1},t_{n+1})$$

B 樣條曲線具有以下性質：

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