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法律一個等差數列的第 11 項與第 18 項之比為 2:3。求第 5 項與第 21 項之比。
已知
一個等差數列的第 11 項與第 18 項之比為 2:3。
要求
我們必須找到第 5 項與第 21 項之比，以及前五項之和與前 21 項之和的比值。
解答
設 $a$ 為等差數列的首項，$d$ 為公差。
這意味著，
$a_{11}: a_{18} =2: 3$
$\frac{a+10 d}{a+17 d}=\frac{2}{3}$
$3 a+30 d=2 a+34 d$
$3a-2a=34 d-30d$
$a=4d$........(i)
$a_5=a+(5-1)d$
$=a+4d$
$a_{21}=a+(21-1)d$
$=a+20d$
這意味著，
$a_5:a_{21}=(a+4d):(a+20d)$
$=\frac{4d+4d}{4d+20d}$
$=\frac{8d}{24d}$
$=\frac{1}{3}$
前五項之和 $S_{5}=\frac{5}{2}[2 a+(5-1) d]$
$=\frac{5}{2}[2(4 d)+4 d]$
$=\frac{5}{2}(8 d+4 d)$
$=\frac{5}{2}(12 d)$
$=30 d$
前 21 項之和 $S_{21}=\frac{21}{2}[2 a+(21-1) d]$
$=\frac{21}{2}[2(4 d)+20 d]$ [根據 (i)]
$=\frac{21}{2}(28 d)$
$=294 d$
因此，
前五項之和與前 21 項之和的比值為，
$S_5:S_{21}=30 d: 294 d$
$=5: 49$
更新於: 2022年10月10日
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