證明等差數列（AP）的首項為\( a \)，第二項為\( b \)，末項為\( c \)時，其和等於\( \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} \)

已知

一個等差數列，其首項為\( a \)，第二項為\( b \)，末項為\( c \)。

要求

我們必須證明，一個等差數列的首項為\( a \)，第二項為\( b \)，末項為\( c \)時，其和等於\( \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} \)。

解答

在給定的等差數列中：

首項 $=a$

公差 $=b-a$

末項 $a_{n}=c$

$a_{n}=l=a+(n-1) d$

$c=a+(n-1)(b-a)$

$c-a=(n-1)(b-a)$

$(n-1)=\frac{c-a}{b-a}$

$n=\frac{c-a}{b-a}+1$

$n=\frac{c-a+b-a}{b-a}$

$n=\frac{c+b-2 a}{b-a}$

等差數列n項和 $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}\left[2 a+\left\{\frac{b+c-2 a}{b-a}-1\right\}(b-a)\right]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}\left[2 a+\frac{c-a}{b-a} (b-a)\right]$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)}(2 a+c-a)$

$=\frac{(b+c-2 a)}{2(b-a)} (a+c)$

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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