如果 $2^{a}=3^{b}=6^{c}$，則證明 $ c=\frac{a b}{a+b} $

已知： $2^{a}=3^{b}=6^{c}$ 

求證： $ c=\frac{a b}{a+b} $

解答

設 $2^a=3^b=6^c=k$

所以，$2^a=k$

⇒$k^{\frac{1}{a}}=2$---------------[i].

且 $3^b=k$

⇒$k^{\frac{1}{b}}=3$----------------[ii]

.

且 $6^c=k$

⇒$k^{\frac{1}{c}}=6$-----------------[iii].

我們知道 $6=2\times3$

現在代入 2, 3 和 6

$k^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=k^{\frac{1}{c}}$

所以，$\frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

⇒$\frac{1}{c} = \frac{b+a}{ ab}$

⇒$c=\frac{ab }{ a+b}$ 證畢

教程點

更新於： 2022年10月10日

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