集合的關係

關係可能存在於同一集合中的物件之間，或存在於兩個及以上集合中的物件之間。

定義和屬性

從集合 x 到 y 的一個二元關係 R（寫為 xRy 或 R(x,y)）是笛卡爾積 x × y 的一個子集。如果 G 的有序對倒置，這個關係也會改變。

一般地，集合 A₁, ... ,\A_n 之間的 n 元關係是 n 元積 A₁ × ... × A_n 的一個子集。在這個情況下，關係 R 的最小基數為零，最大基數為 n²。

單集合 A 上的二元關係 R 是 A × A 的一個子集。

對於兩個不同的集合，A 和 B，它們的基數分別為 m 和 n，從 A 到 B 的關係 R 的最大基數為 mn。

域和值域

如果存在兩個集合 A 和 B，而關係 R 有序對為 (x, y)，那麼 -

• 關係 R 的域為 Dom(R)，集合為 { x | (x, y) ∈ R 對於 B 中的某些 y }

• 關係 R 的值域為 Ran(R)，集合為 { y | (x, y) ∈ R 對於 A 中的某些 x}

示例

設，A = { 1, 2, 9 } 且 B = { 1, 3, 7 }

• 第 1 種情況 − 如果關係 R 為“等於”，則 R = { (1, 1), (3, 3) }

  Dom(R) = { 1, 3 } , Ran(R) = { 1, 3 }

• 第 2 種情況 − 如果關係 R 為“小於”，則 R = { (1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7) }

  Dom(R) = { 1, 2 } , Ran(R) = { 3, 7 }

• 第 3 種情況 − 如果關係 R 為“大於”，則 R = { (2, 1), (9, 1), (9, 3), (9, 7) }

  Dom(R) = { 2, 9 }, Ran(R) = { 1, 3, 7 }

Mahesh Parahar

更新於: 2019 年 8 月 26 日

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