關係型別
集合 X 和 Y 之間的空關係,或在 E 上的空關係,是空集∅。
集合 X 和 Y 之間的全關係是集合 X × Y。
集合 X 上的恆等關係是集合 { (x, x) | x ∈ X }。
關係 R 的逆關係 R' 定義為 − R' = { (b, a) | (a, b) ∈ R }。
示例 − 如果 R = { (1, 2), (2, 3) },則 R' 將為 { (2, 1), (3, 2) }。
如果∀ a ∈ A 都與 a 相關(成立 aRa),則集合 A 上的關係 R 稱為自反的。
示例 − 集合 X = { a, b } 上的關係 R = { (a, a), (b, b) } 是自反的。
如果沒有任何 a ∈ A 與 an 相關(不成立 aRa),則集合 A 上的關係 R 稱為反自反的。
示例 − 集合 X = { a, b } 上的關係 R = { (a, b), (b, a) } 是反自反的。
如果 xRy 意味著 yRx,∀ x ∈ A$ 和 ∀ y ∈ A,則集合 A 上的關係 R 稱為對稱的。
示例 − 集合 A = { 1, 2, 3 } 上的關係 R = { (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) } 是對稱的。
如果 xRy 和 yRx 意味著 x = y \: ∀ x ∈ A 和 ∀ y ∈ A,則集合 A 上的關係 R 稱為反對稱的。
示例 − 關係 R = { (x, y)→ N |x ≤ y } 是反對稱的,因為 x ≤ y 和 y ≤ x 意味著 x = y。
如果 xRy 和 yRz 意味著 xRz,∀ x,y,z ∈ A,則集合 A 上的關係 R 稱為傳遞的。
示例 − 集合 A = { 1, 2, 3 } 上的關係 R = { (1, 2), (2, 3), (1, 3) } 是傳遞的。
如果一個關係是自反的、對稱的和傳遞的,則它是一個等價關係。
示例 − 集合 A = { 1, 2, 3 } 上的關係 R = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1) } 是一個等價關係,因為它既是自反的,又是對稱的,也是傳遞的。