三個等差數列的和是18。如果第一個數和第三個數的乘積是公差的5倍，求這三個數。

已知

三個等差數列的和是18。第一個數和第三個數的乘積是公差的5倍。

求解

我們必須找到這三個數。

解答

設等差數列的前三項為 $a−d,\ a,\ a+d$。

根據題意，

$a−d+a+a+d=18\ ......( i)$

$( a−d)( a+d)=5d\ .....(ii)$

從 $(i)$ 式，我們得到

$3a=18$

$\Rightarrow a=\frac{18}{3}=6$

從 $(ii)$ 式，我們得到

$a^2−d^2=5d\  .....(iii)$

將 $a=6$ 代入 $(iii)$ 式，我們得到：

$(6)^2−d^2=5d$

$\Rightarrow d^2+5d-36=0$

$\Rightarrow d^2+9d-4d-36=0$

$\Rightarrow d(d+9)-4(d+9)=0$

$\Rightarrow d+9=0$ 或 $d-4=0$ 

$\Rightarrow d=-9$ 或 $d=4$ 

如果 $a=6, d=-9$，則

$a-d=6-(-9)=6+9=15, a+d=6+(-9)=6-9=-3$

如果 $a=6, d=4$，則

$a-d=6-4=2, a+d=6+4=10$

這三個數是 $2, 6$ 和 $10$ 或 $15, 6$ 和 $-3$。

更新於：2022年10月10日

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