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法律研究在一個銳角三角形中，用其邊表示中線。
已知
給定一個銳角三角形。
要求
我們必須用三角形的邊表示三角形的中線。
解答
設 $\triangle ABC$ 是一個銳角三角形，AD 是其中線。
作 $AE \perp BC$。
這意味著，
在 \( \triangle A E B \) 中，根據勾股定理
\( A B^{2}=A E^{2}+B E^{2} \)
\( \Rightarrow A B^{2}=A D^{2}-D E^{2}+(B D-D E)^{2} \quad \) (根據勾股定理)
\( \Rightarrow A B^{2}=A D^{2}-D E^{2}+B D^{2}+D E^{2}-2 B D \times D E \)
\( \Rightarrow A B^{2}=A D^{2}+B D^{2}-2 B D \times D E \)
\( \Rightarrow A B^{2}=A D^{2}+\frac{B C^{2}}{4}-B C \times D E \quad---(i) \quad(B C=2 B D \) 已知 \( ) \)
在 $\triangle AEC$ 中，根據勾股定理
\( A C^{2}=A E^{2}+E C^{2} \)
\( \Rightarrow A C^{2}=A D^{2}-D E^{2}+(D E+C D)^{2} \quad \) (根據勾股定理)
\( \Rightarrow A C^{2}=A D^{2}-D E^{2}+D E^{2}+C D^{2}+2 C D \times D E \)
\( \Rightarrow A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}+2 C D \times D E \)
\( \Rightarrow A C^{2}=A D^{2}+\frac{B C^{2}}{4}+B C \times D E \quad---(ii) \quad(B C=2 C D \) 已知 \( ) \)
將方程 (i) 和 (ii) 相加，得到：
\( A B^{2}+A C^{2}=2 A D^{2}+\frac{B C^{2}}{2} \)
\( \Rightarrow 2 A B^{2}+2 A C^{2}=4 A D^{2}+B C^{2} \quad \) (兩邊乘以 2)
\( \Rightarrow 4 A D^{2}=2 A B^{2}+2 A C^{2}-B C^{2} \)
\( \Rightarrow A D^{2}=\frac{2 A B^{2}+2 A C^{2}-B C^{2}}{4} \).
因此，
$AD^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$。
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