如果兩個等差數列前 n 項和的比為 $( 7n\ +1)$: $( 4n\ +\ 27)$，求這兩個數列第 m 項的比。

已知：兩個等差數列前 n 項和的比為 $( 7n\ +1)$: $( 4n\ +\ 27)$，

要求：求這兩個數列第 $m^{th}$ 項的比。

設 $a_{1} ,\ a_{2}$ 為兩個給定等差數列的首項，$d_{1}$ , $d_{2}$ 為這兩個等差數列的公差。

因此，我們有所有項的和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

設 S 和 S' 為給定等差數列的 n 項和。

$\frac{S}{S'} =\frac{\frac{n}{2}[ 2a_{1} +( n-1) d_{1}]}{\frac{n}{2}[ 2a_{2} +( n-1) d_{2}]}$

已知 $\frac{S}{S'} =\frac{7n+1}{4n+27}$

$\therefore \frac{\frac{n}{2}[ 2a_{1} +( n-1) d_{1}]}{\frac{n}{2}[ 2a_{2} +( n-1) d_{2}]} =\frac{7n+1}{4n+27}$

$\frac{2a_{1} +( n-1) d_{1}}{2a_{2} +( n-1) d_{2}} =\frac{7n+1}{4n+27} \ \ \ \ \ ...................( 1)$

為了求這兩個給定等差數列第 m 項的比，在公式 (1) 中用 (2m–1) 代替 n

$\frac{2a_{1} +( 2m-1-1) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-1-1) d_{2}} =\frac{7( 2m-1) +1}{4( 2m-1) +27}$

$\frac{2a_{1} +( 2m-2) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-2) d_{2}} =\frac{14m-7+1}{8m-4+27}$

$\frac{2a_{1} +2( m-1) d_{1}}{2a_{2} +2( m-1) d_{2}} =\frac{14m-6}{8m+23}$

$\frac{2[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{2[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}$

$\frac{[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}$

$\because a_{m} =a+( m-1) d$

$\frac{第一個等差數列的第 m 項}{第二個等差數列的第 m 項} =\frac{14m-6}{14m+20}$

因此，這兩個等差數列的項的比為 $14m –6$:$8m+23$。