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法學已知$\sqrt2= 1.4142, \sqrt3= 1.732, \sqrt5 = 2.2360, \sqrt6= 2.4495$ 和 $\sqrt{10}= 3.162$，求下列各式的值，精確到小數點後三位：\( \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \)
已知
$\sqrt2= 1.4142, \sqrt3= 1.732, \sqrt5 = 2.2360, \sqrt6= 2.4495$ 和 $\sqrt{10}= 3.162$。
要求：
求\( \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \)的值，精確到小數點後三位。
解
我們知道：
分母為${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母為${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母為${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此，
$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}=\frac{(3-\sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}{(3+2 \sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}$
$=\frac{9-6 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+2 \times 5}{(3)^{2}-(2 \sqrt{5})^{2}}$
$=\frac{9+10-9 \sqrt{5}}{9-20}$
$=\frac{19-9 \sqrt{5}}{-11}$
$=\frac{19-9 \times 2.2360}{-11}$
$=\frac{19-20.124}{-11}$
$=\frac{-1.124}{-11}$
$=0.102$
$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}$的值為 $0.102$。
更新於：2022年10月10日
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