GATE 數學考試大綱

科目程式碼：MA

課程結構

課程大綱

A 節：線性代數

• 有限維向量空間
• 線性變換及其矩陣表示 -
  • 秩
  • 線性方程組
  • 特徵值和特徵向量
  • 最小多項式
  • Cayley-Hamilton 定理
  • 對角化
  • Jordan 標準形
  • Hermitian 矩陣
  • Skew-Hermitian 矩陣
  • 酉矩陣
• 有限維內積空間 -
  • Gram-Schmidt 正交化過程
  • 自伴運算元，定形式

B 節：復變分析

• 解析函式，保角對映，雙線性變換
• 復積分 -
  • 柯西積分定理和公式
  • 劉維爾定理
  • 最大模原理
• 零點和奇點
• Taylor 級數和 Laurent 級數
• 留數定理及其在計算實積分中的應用

C 節：實變分析

• 函式序列與級數 -
  • 一致收斂
  • 冪級數
  • 傅立葉級數
  • 多元函式
  • 極大值
  • 極小值
• Riemann 積分 -
  • 重積分
  • 線
  • 面積分和體積分
  • Green 定理
  • Stokes 定理
  • Gauss 定理
• 度量空間 -
  • 緊緻性
  • 完備性
  • Weierstrass逼近定理
• Lebesgue 測度 -
  • 可測函式
• Lebesgue 積分 -
  • Fatou引理
  • 控制收斂定理

D 節：常微分方程

• 一階常微分方程 -

  • 初值問題的存在性和唯一性定理

  • 線性一階常微分方程組

  • 具有常係數的高階線性常微分方程

• 具有變係數的二階線性常微分方程

• 用拉普拉斯變換求解常微分方程的方法，級數解法（冪級數法，Frobenius 方法）

• 勒讓德函式和貝塞爾函式及其正交性

E 節：代數

• 群，子群，正規子群，商群和同態定理

• 自同構

• 迴圈群和置換群

• Sylow 定理及其應用

• 環，理想，素理想和極大理想，商環，唯一分解整環，主理想整環，歐幾里得整環，多項式環和不可約性判據

• 域，有限域和域擴張

F 節：泛函分析

• 賦範線性空間
• Banach 空間
• Hahn-Banach 延拓定理
• 開對映定理和閉影像定理
• 一致有界原理
• 內積空間
• Hilbert 空間
• 正交基
• Riesz 表示定理
• 有界線性運算元

G 節：數值分析

• 代數方程和超越方程的數值解法 -
  • 二分法
  • 割線法
  • Newton-Raphson 法
  • 不動點迭代
• 插值 -
  • 多項式插值的誤差
  • Lagrange 插值，Newton 插值
• 數值微分
• 數值積分 -
  • 梯形法則和辛普森法則
• 線性方程組的數值解法 -
  • 直接法 (高斯消元法，LU 分解)
• 迭代法 (Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法)
• 常微分方程的數值解法
• 初值問題 -
  • 尤拉法
  • 二階 Runge-Kutta 法

H 節：偏微分方程

• 一階線性及擬線性偏微分方程 -

  • 特徵線法

• 二元二階線性方程及其分類

• Cauchy 問題，Dirichlet 問題和 Neumann 問題

• 二維笛卡爾座標系下 Laplace 方程、波動方程的解，極座標系下的內、外 Dirichlet 問題

• 用分離變數法求解一維波動方程和擴散方程

• 傅立葉級數和傅立葉變換以及拉普拉斯變換解法

I 節：拓撲學

• 拓撲學的基本概念
• 基
• 子基
• 子空間拓撲
• 序拓撲
• 積拓撲
• 連通性
• 緊緻性
• 可數性
• 分離公理
• Urysohn 引理

J 節：機率與統計

• 機率空間，條件機率，Bayes 定理，獨立性，隨機

• 變數，聯合分佈和條件分佈，標準機率分佈及其性質（離散均勻分佈，二項分佈，泊松分佈，幾何分佈，負二項分佈，正態分佈，指數分佈，伽馬分佈，連續均勻分佈，二元正態分佈，多項分佈），期望，條件期望，矩

• 大數弱定律和大數強定律，中心極限定理

• 抽樣分佈，UMVU 估計量，最大似然估計量

• 區間估計

• 假設檢驗，基於正態分佈的標準引數檢驗

• 簡單線性迴歸

H 節：線性規劃

• 線性規劃問題及其公式化，凸集及其性質，圖解法，基本可行解，單純形法，大M法和兩階段法

• 不可行和無界線性規劃問題，備選最優解

• 對偶問題和對偶定理，對偶單純形法及其在後最佳化分析中的應用

• 平衡和不平衡運輸問題，求解運輸問題的 Vogel 近似法

• 求解指派問題的匈牙利法

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