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法律研究求經過點$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$的圓的圓心。
已知
圓的圓心經過點$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$。
要求
我們必須找到給定圓的圓心。
解答
設$\mathrm{O}$為圓心，$\mathrm{A}(6,-6), \mathrm{B} (3,-7)$和$\mathrm{C}(3,3)$為圓上的點。
設$\mathrm{O}$的座標為$(x, y)$。
這意味著：
$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ (圓的半徑)
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$
平方後，我們得到：
$\mathrm{OA}^{2}=(x-6)^{2}+(y+6)^{2}$
$=x^{2}-12 x+36+y^{2}+12 y+36$
$=x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72$
$\mathrm{OB}^{2}=(x-3)^{2}+(y+7)^{2}$
$=x^{2}+9-6 x+y^{2}+49+14 y$
$=x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58$
$\mathrm{OC}^{2}=(x-3)^{2}+(y-3)^{2}$
$=x^{2}+9-6 x+y^{2}-6 y+9$
$=x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18$
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72=x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58$
$\Rightarrow -12x+6 x+12 y-14 y=58-72$
$\Rightarrow -6 x-2 y=-14$
$\Rightarrow -2(3 x+y)=-2(7)$
$\Rightarrow 3 x+y=7$.........(i)
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58=x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18$
$\Rightarrow 14 y+6 y=18-58$
$\Rightarrow 20 y=-40$
$\Rightarrow y=\frac{-40}{20}=-2$
將$y$的值代入(i)，我們得到：
$3 x-2=7$
$\Rightarrow 3 x=7+2=9$
$\Rightarrow x=\frac{9}{3}=3$
因此，給定圓的圓心為$(3, -2)$。
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