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法律研究求過點$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$的圓的圓心。
已知
圓的圓心經過點$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$。
要求
我們必須找到給定圓的圓心。
解答
設\( \mathrm{O} \)為圓的圓心，\( \mathrm{A}(6,-6), \mathrm{B} (3,-7) \)和\( \mathrm{C}(3,3) \)為圓上的點。
設\( \mathrm{O} \)的座標為\( (x, y) \)。
這意味著，
\( \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC} \) (圓的半徑)
\( \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
平方後，我們得到，
\( \mathrm{OA}^{2}=(x-6)^{2}+(y+6)^{2} \)
\( =x^{2}-12 x+36+y^{2}+12 y+36 \)
\( =x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72 \)
\( \mathrm{OB}^{2}=(x-3)^{2}+(y+7)^{2} \)
\( =x^{2}+9-6 x+y^{2}+49+14 y \)
\( =x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58 \)
\( \mathrm{OC}^{2}=(x-3)^{2}+(y-3)^{2} \)
\( =x^{2}+9-6 x+y^{2}-6 y+9 \)
\( =x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18 \)
\( \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72=x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58 \)
\( \Rightarrow -12x+6 x+12 y-14 y=58-72 \)
\( \Rightarrow -6 x-2 y=-14 \)
\( \Rightarrow -2(3 x+y)=-2(7) \)
\( \Rightarrow 3 x+y=7 \).........(i)
\( \mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58=x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18 \)
\( \Rightarrow 14 y+6 y=18-58 \)
\( \Rightarrow 20 y=-40 \)
\( \Rightarrow y=\frac{-40}{20}=-2 \)
將\( y \)的值代入(i)，我們得到，
\( \Rightarrow 3 x-2=7 \)
\( \Rightarrow 3 x=7+2=9 \)
\( \Rightarrow x=\frac{9}{3}=3 \)
因此，給定圓的圓心為$(3, -2)$。
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